Grundlegende Mathematik Beispiele

$\frac{y}{y + 1} + \frac{1}{y^{2} + 3 y + 2}$

Schritt 1

Faktorisiere $y^{2} + 3 y + 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $2$ und deren Summe $3$ ist.

$1, 2$

Schritt 1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{y}{y + 1} + \frac{1}{(y + 1) (y + 2)}$

Schritt 2

Um $\frac{y}{y + 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{y + 2}{y + 2}$ .

$\frac{y}{y + 1} \cdot \frac{y + 2}{y + 2} + \frac{1}{(y + 1) (y + 2)}$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{y}{y + 1}$ mit $\frac{y + 2}{y + 2}$ .

$\frac{y (y + 2)}{(y + 1) (y + 2)} + \frac{1}{(y + 1) (y + 2)}$

Schritt 3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{y (y + 2) + 1}{(y + 1) (y + 2)}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y \cdot y + y \cdot 2 + 1}{(y + 1) (y + 2)}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$\frac{y^{2} + y \cdot 2 + 1}{(y + 1) (y + 2)}$

Schritt 4.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$\frac{y^{2} + 2 \cdot y + 1}{(y + 1) (y + 2)}$

Schritt 4.4

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 4.4.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{y^{2} + 2 y + 1^{2}}{(y + 1) (y + 2)}$

Schritt 4.4.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 y = 2 \cdot y \cdot 1$

Schritt 4.4.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{y^{2} + 2 \cdot y \cdot 1 + 1^{2}}{(y + 1) (y + 2)}$

Schritt 4.4.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = y$ und $b = 1$ .

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{(y + 1) (y + 2)}$

Schritt 5

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(y + 1)}^{2}$ und $y + 1$ .

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Schritt 5.1

Faktorisiere $y + 1$ aus ${(y + 1)}^{2}$ heraus.

$\frac{(y + 1) (y + 1)}{(y + 1) (y + 2)}$

Schritt 5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(y + 1) (y + 1)}{(y + 1) (y + 2)}$

Schritt 5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y + 1}{y + 2}$