Grundlegende Mathematik Beispiele

$\frac{b + 9}{1} + \frac{4}{b^{2} + b - 6}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Dividiere $b + 9$ durch $1$ .

$b + 9 + \frac{4}{b^{2} + b - 6}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $b^{2} + b - 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 6$ und deren Summe $1$ ist.

$- 2, 3$

Schritt 1.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$b + 9 + \frac{4}{(b - 2) (b + 3)}$

Schritt 2

Um $b$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{(b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$ .

$b \cdot \frac{(b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)} + \frac{4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Kombiniere $b$ und $\frac{(b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$ .

$\frac{b ((b - 2) (b + 3))}{(b - 2) (b + 3)} + \frac{4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

Schritt 3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{b ((b - 2) (b + 3)) + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Multipliziere $(b - 2) (b + 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{b (b (b + 3) - 2 (b + 3)) + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

Schritt 4.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{b (b \cdot b + b \cdot 3 - 2 (b + 3)) + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

Schritt 4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{b (b \cdot b + b \cdot 3 - 2 b - 2 \cdot 3) + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

Schritt 4.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Mutltipliziere $b$ mit $b$ .

$\frac{b (b^{2} + b \cdot 3 - 2 b - 2 \cdot 3) + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

Schritt 4.2.1.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $b$ .

$\frac{b (b^{2} + 3 \cdot b - 2 b - 2 \cdot 3) + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

Schritt 4.2.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$\frac{b (b^{2} + 3 b - 2 b - 6) + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $2 b$ von $3 b$ .

$\frac{b (b^{2} + b - 6) + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

Schritt 4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{b \cdot b^{2} + b \cdot b + b \cdot - 6 + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

Schritt 4.4

Vereinfache.

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Schritt 4.4.1

Multipliziere $b$ mit $b^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.4.1.1

Mutltipliziere $b$ mit $b^{2}$ .

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Schritt 4.4.1.1.1

Potenziere $b$ mit $1$ .

$\frac{b^{1} b^{2} + b \cdot b + b \cdot - 6 + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

Schritt 4.4.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{b^{1 + 2} + b \cdot b + b \cdot - 6 + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

Schritt 4.4.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{b^{3} + b \cdot b + b \cdot - 6 + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $b$ mit $b$ .

$\frac{b^{3} + b^{2} + b \cdot - 6 + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

Schritt 4.4.3

Bringe $- 6$ auf die linke Seite von $b$ .

$\frac{b^{3} + b^{2} - 6 \cdot b + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

Schritt 4.5

Faktorisiere $b^{3} + b^{2} - 6 b + 4$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 4.5.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

Schritt 4.5.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

Schritt 4.5.3

Setze $1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 4.5.3.1

Setze $1$ in das Polynom ein.

$1^{3} + 1^{2} - 6 \cdot 1 + 4$

Schritt 4.5.3.2

Potenziere $1$ mit $3$ .

$1 + 1^{2} - 6 \cdot 1 + 4$

Schritt 4.5.3.3

Potenziere $1$ mit $2$ .

$1 + 1 - 6 \cdot 1 + 4$

Schritt 4.5.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$2 - 6 \cdot 1 + 4$

Schritt 4.5.3.5

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$2 - 6 + 4$

Schritt 4.5.3.6

Subtrahiere $6$ von $2$ .

$- 4 + 4$

Schritt 4.5.3.7

Addiere $- 4$ und $4$ .

$0$

Schritt 4.5.4

Da $1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $b - 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{b^{3} + b^{2} - 6 b + 4}{b - 1}$

Schritt 4.5.5

Dividiere $b^{3} + b^{2} - 6 b + 4$ durch $b - 1$ .

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Schritt 4.5.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$b$

$1$

$b^{3}$

$b^{2}$

$6 b$

$4$

Schritt 4.5.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $b^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $b$ .

					$b^{2}$
	$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$

Schritt 4.5.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$b^{2}$
$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$
			+	$b^{3}$	-	$b^{2}$

Schritt 4.5.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $b^{3} - b^{2}$

				$b^{2}$
$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$
			-	$b^{3}$	+	$b^{2}$

Schritt 4.5.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$b^{2}$
$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$
			-	$b^{3}$	+	$b^{2}$
					+	$2 b^{2}$

Schritt 4.5.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$b^{2}$
$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$
			-	$b^{3}$	+	$b^{2}$
					+	$2 b^{2}$	-	$6 b$

Schritt 4.5.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $2 b^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $b$ .

				$b^{2}$	+	$2 b$
$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$
			-	$b^{3}$	+	$b^{2}$
					+	$2 b^{2}$	-	$6 b$

Schritt 4.5.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$b^{2}$	+	$2 b$
$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$
			-	$b^{3}$	+	$b^{2}$
					+	$2 b^{2}$	-	$6 b$
					+	$2 b^{2}$	-	$2 b$

Schritt 4.5.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $2 b^{2} - 2 b$

				$b^{2}$	+	$2 b$
$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$
			-	$b^{3}$	+	$b^{2}$
					+	$2 b^{2}$	-	$6 b$
					-	$2 b^{2}$	+	$2 b$

Schritt 4.5.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$b^{2}$	+	$2 b$
$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$
			-	$b^{3}$	+	$b^{2}$
					+	$2 b^{2}$	-	$6 b$
					-	$2 b^{2}$	+	$2 b$
							-	$4 b$

Schritt 4.5.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$b^{2}$	+	$2 b$
$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$
			-	$b^{3}$	+	$b^{2}$
					+	$2 b^{2}$	-	$6 b$
					-	$2 b^{2}$	+	$2 b$
							-	$4 b$	+	$4$

Schritt 4.5.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 4 b$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $b$ .

				$b^{2}$	+	$2 b$	-	$4$
$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$
			-	$b^{3}$	+	$b^{2}$
					+	$2 b^{2}$	-	$6 b$
					-	$2 b^{2}$	+	$2 b$
							-	$4 b$	+	$4$

Schritt 4.5.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$b^{2}$	+	$2 b$	-	$4$
$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$
			-	$b^{3}$	+	$b^{2}$
					+	$2 b^{2}$	-	$6 b$
					-	$2 b^{2}$	+	$2 b$
							-	$4 b$	+	$4$
							-	$4 b$	+	$4$

Schritt 4.5.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 4 b + 4$

				$b^{2}$	+	$2 b$	-	$4$
$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$
			-	$b^{3}$	+	$b^{2}$
					+	$2 b^{2}$	-	$6 b$
					-	$2 b^{2}$	+	$2 b$
							-	$4 b$	+	$4$
							+	$4 b$	-	$4$

Schritt 4.5.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$b^{2}$	+	$2 b$	-	$4$
$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$
			-	$b^{3}$	+	$b^{2}$
					+	$2 b^{2}$	-	$6 b$
					-	$2 b^{2}$	+	$2 b$
							-	$4 b$	+	$4$
							+	$4 b$	-	$4$
										$0$

Schritt 4.5.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$b^{2} + 2 b - 4$

Schritt 4.5.6

Schreibe $b^{3} + b^{2} - 6 b + 4$ als eine Menge von Faktoren.

$\frac{(b - 1) (b^{2} + 2 b - 4)}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

Schritt 5

Um $9$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{(b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$ .

$\frac{(b - 1) (b^{2} + 2 b - 4)}{(b - 2) (b + 3)} + 9 \cdot \frac{(b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

Schritt 6

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.1

Kombiniere $9$ und $\frac{(b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$ .

$\frac{(b - 1) (b^{2} + 2 b - 4)}{(b - 2) (b + 3)} + \frac{9 ((b - 2) (b + 3))}{(b - 2) (b + 3)}$

Schritt 6.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(b - 1) (b^{2} + 2 b - 4) + 9 ((b - 2) (b + 3))}{(b - 2) (b + 3)}$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Multipliziere $(b - 1) (b^{2} + 2 b - 4)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$\frac{b \cdot b^{2} + b (2 b) + b \cdot - 4 - 1 b^{2} - 1 (2 b) - 1 \cdot - 4 + 9 (b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

Schritt 7.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1

Multipliziere $b$ mit $b^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.2.1.1

Mutltipliziere $b$ mit $b^{2}$ .

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Schritt 7.2.1.1.1

Potenziere $b$ mit $1$ .

$\frac{b^{1} b^{2} + b (2 b) + b \cdot - 4 - 1 b^{2} - 1 (2 b) - 1 \cdot - 4 + 9 (b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

Schritt 7.2.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{b^{1 + 2} + b (2 b) + b \cdot - 4 - 1 b^{2} - 1 (2 b) - 1 \cdot - 4 + 9 (b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

Schritt 7.2.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{b^{3} + b (2 b) + b \cdot - 4 - 1 b^{2} - 1 (2 b) - 1 \cdot - 4 + 9 (b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

Schritt 7.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{b^{3} + 2 b \cdot b + b \cdot - 4 - 1 b^{2} - 1 (2 b) - 1 \cdot - 4 + 9 (b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

Schritt 7.2.3

Multipliziere $b$ mit $b$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.2.3.1

Bewege $b$ .

$\frac{b^{3} + 2 (b \cdot b) + b \cdot - 4 - 1 b^{2} - 1 (2 b) - 1 \cdot - 4 + 9 (b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

Schritt 7.2.3.2

Mutltipliziere $b$ mit $b$ .

$\frac{b^{3} + 2 b^{2} + b \cdot - 4 - 1 b^{2} - 1 (2 b) - 1 \cdot - 4 + 9 (b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

Schritt 7.2.4

Bringe $- 4$ auf die linke Seite von $b$ .

$\frac{b^{3} + 2 b^{2} - 4 \cdot b - 1 b^{2} - 1 (2 b) - 1 \cdot - 4 + 9 (b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

Schritt 7.2.5

Schreibe $- 1 b^{2}$ als $- b^{2}$ um.

$\frac{b^{3} + 2 b^{2} - 4 b - b^{2} - 1 (2 b) - 1 \cdot - 4 + 9 (b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

Schritt 7.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{b^{3} + 2 b^{2} - 4 b - b^{2} - 2 b - 1 \cdot - 4 + 9 (b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

Schritt 7.2.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$\frac{b^{3} + 2 b^{2} - 4 b - b^{2} - 2 b + 4 + 9 (b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

Schritt 7.3

Subtrahiere $b^{2}$ von $2 b^{2}$ .

$\frac{b^{3} + b^{2} - 4 b - 2 b + 4 + 9 (b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

Schritt 7.4

Subtrahiere $2 b$ von $- 4 b$ .

$\frac{b^{3} + b^{2} - 6 b + 4 + 9 (b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

Schritt 7.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{b^{3} + b^{2} - 6 b + 4 + (9 b + 9 \cdot - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

Schritt 7.6

Mutltipliziere $9$ mit $- 2$ .

$\frac{b^{3} + b^{2} - 6 b + 4 + (9 b - 18) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

Schritt 7.7

Multipliziere $(9 b - 18) (b + 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 7.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{b^{3} + b^{2} - 6 b + 4 + 9 b (b + 3) - 18 (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

Schritt 7.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{b^{3} + b^{2} - 6 b + 4 + 9 b \cdot b + 9 b \cdot 3 - 18 (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

Schritt 7.7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{b^{3} + b^{2} - 6 b + 4 + 9 b \cdot b + 9 b \cdot 3 - 18 b - 18 \cdot 3}{(b - 2) (b + 3)}$

Schritt 7.8

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 7.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.8.1.1

Multipliziere $b$ mit $b$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.8.1.1.1

Bewege $b$ .

$\frac{b^{3} + b^{2} - 6 b + 4 + 9 (b \cdot b) + 9 b \cdot 3 - 18 b - 18 \cdot 3}{(b - 2) (b + 3)}$

Schritt 7.8.1.1.2

Mutltipliziere $b$ mit $b$ .

$\frac{b^{3} + b^{2} - 6 b + 4 + 9 b^{2} + 9 b \cdot 3 - 18 b - 18 \cdot 3}{(b - 2) (b + 3)}$

Schritt 7.8.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $9$ .

$\frac{b^{3} + b^{2} - 6 b + 4 + 9 b^{2} + 27 b - 18 b - 18 \cdot 3}{(b - 2) (b + 3)}$

Schritt 7.8.1.3

Mutltipliziere $- 18$ mit $3$ .

$\frac{b^{3} + b^{2} - 6 b + 4 + 9 b^{2} + 27 b - 18 b - 54}{(b - 2) (b + 3)}$

Schritt 7.8.2

Subtrahiere $18 b$ von $27 b$ .

$\frac{b^{3} + b^{2} - 6 b + 4 + 9 b^{2} + 9 b - 54}{(b - 2) (b + 3)}$

Schritt 7.9

Addiere $b^{2}$ und $9 b^{2}$ .

$\frac{b^{3} + 10 b^{2} - 6 b + 4 + 9 b - 54}{(b - 2) (b + 3)}$

Schritt 7.10

Addiere $- 6 b$ und $9 b$ .

$\frac{b^{3} + 10 b^{2} + 3 b + 4 - 54}{(b - 2) (b + 3)}$

Schritt 7.11

Subtrahiere $54$ von $4$ .

$\frac{b^{3} + 10 b^{2} + 3 b - 50}{(b - 2) (b + 3)}$