Grundlegende Mathematik Beispiele

${(a + \frac{1}{a} - 1)}^{2}$

Schritt 1

Schreibe ${(a + \frac{1}{a} - 1)}^{2}$ als $(a + \frac{1}{a} - 1) (a + \frac{1}{a} - 1)$ um.

$(a + \frac{1}{a} - 1) (a + \frac{1}{a} - 1)$

Schritt 2

Multipliziere $(a + \frac{1}{a} - 1) (a + \frac{1}{a} - 1)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$a \cdot a + a \frac{1}{a} + a \cdot - 1 + \frac{1}{a} a + \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{a} + \frac{1}{a} \cdot - 1 - 1 a - 1 \frac{1}{a} - 1 \cdot - 1$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$a^{2} + a \frac{1}{a} + a \cdot - 1 + \frac{1}{a} a + \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{a} + \frac{1}{a} \cdot - 1 - 1 a - 1 \frac{1}{a} - 1 \cdot - 1$

Schritt 3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a$ .

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Schritt 3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$a^{2} + a \frac{1}{a} + a \cdot - 1 + \frac{1}{a} a + \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{a} + \frac{1}{a} \cdot - 1 - 1 a - 1 \frac{1}{a} - 1 \cdot - 1$

Schritt 3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$a^{2} + 1 + a \cdot - 1 + \frac{1}{a} a + \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{a} + \frac{1}{a} \cdot - 1 - 1 a - 1 \frac{1}{a} - 1 \cdot - 1$

Schritt 3.1.3

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $a$ .

$a^{2} + 1 - 1 \cdot a + \frac{1}{a} a + \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{a} + \frac{1}{a} \cdot - 1 - 1 a - 1 \frac{1}{a} - 1 \cdot - 1$

Schritt 3.1.4

Schreibe $- 1 a$ als $- a$ um.

$a^{2} + 1 - a + \frac{1}{a} a + \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{a} + \frac{1}{a} \cdot - 1 - 1 a - 1 \frac{1}{a} - 1 \cdot - 1$

Schritt 3.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a$ .

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Schritt 3.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$a^{2} + 1 - a + \frac{1}{a} a + \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{a} + \frac{1}{a} \cdot - 1 - 1 a - 1 \frac{1}{a} - 1 \cdot - 1$

Schritt 3.1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$a^{2} + 1 - a + 1 + \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{a} + \frac{1}{a} \cdot - 1 - 1 a - 1 \frac{1}{a} - 1 \cdot - 1$

Schritt 3.1.6

Multipliziere $\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{a}$ .

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Schritt 3.1.6.1

Mutltipliziere $\frac{1}{a}$ mit $\frac{1}{a}$ .

$a^{2} + 1 - a + 1 + \frac{1}{a \cdot a} + \frac{1}{a} \cdot - 1 - 1 a - 1 \frac{1}{a} - 1 \cdot - 1$

Schritt 3.1.6.2

Potenziere $a$ mit $1$ .

$a^{2} + 1 - a + 1 + \frac{1}{a^{1} a} + \frac{1}{a} \cdot - 1 - 1 a - 1 \frac{1}{a} - 1 \cdot - 1$

Schritt 3.1.6.3

Potenziere $a$ mit $1$ .

$a^{2} + 1 - a + 1 + \frac{1}{a^{1} a^{1}} + \frac{1}{a} \cdot - 1 - 1 a - 1 \frac{1}{a} - 1 \cdot - 1$

Schritt 3.1.6.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$a^{2} + 1 - a + 1 + \frac{1}{a^{1 + 1}} + \frac{1}{a} \cdot - 1 - 1 a - 1 \frac{1}{a} - 1 \cdot - 1$

Schritt 3.1.6.5

Addiere $1$ und $1$ .

$a^{2} + 1 - a + 1 + \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{a} \cdot - 1 - 1 a - 1 \frac{1}{a} - 1 \cdot - 1$

Schritt 3.1.7

Kombiniere $\frac{1}{a}$ und $- 1$ .

$a^{2} + 1 - a + 1 + \frac{1}{a^{2}} + \frac{- 1}{a} - 1 a - 1 \frac{1}{a} - 1 \cdot - 1$

Schritt 3.1.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$a^{2} + 1 - a + 1 + \frac{1}{a^{2}} - \frac{1}{a} - 1 a - 1 \frac{1}{a} - 1 \cdot - 1$

Schritt 3.1.9

Schreibe $- 1 a$ als $- a$ um.

$a^{2} + 1 - a + 1 + \frac{1}{a^{2}} - \frac{1}{a} - a - 1 \frac{1}{a} - 1 \cdot - 1$

Schritt 3.1.10

Schreibe $- 1 \frac{1}{a}$ als $- \frac{1}{a}$ um.

$a^{2} + 1 - a + 1 + \frac{1}{a^{2}} - \frac{1}{a} - a - \frac{1}{a} - 1 \cdot - 1$

Schritt 3.1.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$a^{2} + 1 - a + 1 + \frac{1}{a^{2}} - \frac{1}{a} - a - \frac{1}{a} + 1$

Schritt 3.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$a^{2} + 1 - a + 1 - a + 1 + \frac{1}{a^{2}} + \frac{- 1 - 1}{a}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.2.1

Subtrahiere $1$ von $- 1$ .

$a^{2} + 1 - a + 1 - a + 1 + \frac{1}{a^{2}} + \frac{- 2}{a}$

Schritt 3.2.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$a^{2} + 1 - a + 1 - a + 1 + \frac{1}{a^{2}} - \frac{2}{a}$

Schritt 3.2.2.3

Addiere $1$ und $1$ .

$a^{2} - a + 2 - a + 1 + \frac{1}{a^{2}} - \frac{2}{a}$

Schritt 3.2.3

Subtrahiere $a$ von $- a$ .

$a^{2} - 2 a + 2 + 1 + \frac{1}{a^{2}} - \frac{2}{a}$

Schritt 3.2.4

Addiere $2$ und $1$ .

$a^{2} - 2 a + 3 + \frac{1}{a^{2}} - \frac{2}{a}$