Grundlegende Mathematik Beispiele

$\frac{a^{- 1} - 5}{25 - a^{- 2}}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{1}{a} - 5}{25 - a^{- 2}}$

Schritt 1.2

Um $- 5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{a}{a}$ .

$\frac{\frac{1}{a} - 5 \cdot \frac{a}{a}}{25 - a^{- 2}}$

Schritt 1.3

Kombiniere $- 5$ und $\frac{a}{a}$ .

$\frac{\frac{1}{a} + \frac{- 5 a}{a}}{25 - a^{- 2}}$

Schritt 1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{1 - 5 a}{a}}{25 - a^{- 2}}$

Schritt 2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{\frac{1 - 5 a}{a}}{5^{2} - a^{- 2}}$

Schritt 2.2

Schreibe $a^{- 2}$ als ${(a^{- 1})}^{2}$ um.

$\frac{\frac{1 - 5 a}{a}}{5^{2} - {(a^{- 1})}^{2}}$

Schritt 2.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 5$ und $b = a^{- 1}$ .

$\frac{\frac{1 - 5 a}{a}}{(5 + a^{- 1}) (5 - a^{- 1})}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{1 - 5 a}{a}}{(5 + \frac{1}{a}) (5 - a^{- 1})}$

Schritt 2.4.2

Um $5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{a}{a}$ .

$\frac{\frac{1 - 5 a}{a}}{(\frac{5 a}{a} + \frac{1}{a}) (5 - a^{- 1})}$

Schritt 2.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{1 - 5 a}{a}}{\frac{5 a + 1}{a} (5 - a^{- 1})}$

Schritt 2.4.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{1 - 5 a}{a}}{\frac{5 a + 1}{a} (5 - \frac{1}{a})}$

Schritt 2.4.5

Um $5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{a}{a}$ .

$\frac{\frac{1 - 5 a}{a}}{\frac{5 a + 1}{a} (\frac{5 a}{a} - \frac{1}{a})}$

Schritt 2.4.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{1 - 5 a}{a}}{\frac{5 a + 1}{a} \cdot \frac{5 a - 1}{a}}$

Schritt 3

Mutltipliziere $\frac{5 a + 1}{a}$ mit $\frac{5 a - 1}{a}$ .

$\frac{\frac{1 - 5 a}{a}}{\frac{(5 a + 1) (5 a - 1)}{a \cdot a}}$

Schritt 4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1

Potenziere $a$ mit $1$ .

$\frac{\frac{1 - 5 a}{a}}{\frac{(5 a + 1) (5 a - 1)}{a^{1} a}}$

Schritt 4.2

Potenziere $a$ mit $1$ .

$\frac{\frac{1 - 5 a}{a}}{\frac{(5 a + 1) (5 a - 1)}{a^{1} a^{1}}}$

Schritt 4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{1 - 5 a}{a}}{\frac{(5 a + 1) (5 a - 1)}{a^{1 + 1}}}$

Schritt 4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\frac{1 - 5 a}{a}}{\frac{(5 a + 1) (5 a - 1)}{a^{2}}}$

Schritt 5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{1 - 5 a}{a} \cdot \frac{a^{2}}{(5 a + 1) (5 a - 1)}$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a$ .

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Schritt 6.1

Faktorisiere $a$ aus $a^{2}$ heraus.

$\frac{1 - 5 a}{a} \cdot \frac{a \cdot a}{(5 a + 1) (5 a - 1)}$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 - 5 a}{a} \cdot \frac{a \cdot a}{(5 a + 1) (5 a - 1)}$

Schritt 6.3

Forme den Ausdruck um.

$(1 - 5 a) \frac{a}{(5 a + 1) (5 a - 1)}$

Schritt 7

Mutltipliziere $1 - 5 a$ mit $\frac{a}{(5 a + 1) (5 a - 1)}$ .

$\frac{(1 - 5 a) a}{(5 a + 1) (5 a - 1)}$

Schritt 8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1 - 5 a$ und $5 a - 1$ .

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Schritt 8.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{(- 1 (- 1) - 5 a) a}{(5 a + 1) (5 a - 1)}$

Schritt 8.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 5 a$ heraus.

$\frac{(- 1 (- 1) - (5 a)) a}{(5 a + 1) (5 a - 1)}$

Schritt 8.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- 1) - (5 a)$ heraus.

$\frac{- 1 (- 1 + 5 a) a}{(5 a + 1) (5 a - 1)}$

Schritt 8.4

Stelle die Terme um.

$\frac{- 1 (5 a - 1) a}{(5 a + 1) (5 a - 1)}$

Schritt 8.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1 (5 a - 1) a}{(5 a + 1) (5 a - 1)}$

Schritt 8.6

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1 a}{5 a + 1}$

Schritt 9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{a}{5 a + 1}$