Grundlegende Mathematik Beispiele

$\frac{\frac{3 k^{2} - 2 k - 1}{3 k^{2} + 14 k + 11}}{\frac{9 k^{2} - 1}{3 k^{2} + 8 k - 11}}$

Schritt 1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{3 k^{2} - 2 k - 1}{3 k^{2} + 14 k + 11} \cdot \frac{3 k^{2} + 8 k - 11}{9 k^{2} - 1}$

Schritt 2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot - 1 = - 3$ und deren Summe gleich $b = - 2$ ist.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 k$ heraus.

$\frac{3 k^{2} - 2 (k) - 1}{3 k^{2} + 14 k + 11} \cdot \frac{3 k^{2} + 8 k - 11}{9 k^{2} - 1}$

Schritt 2.1.2

Schreibe $- 2$ um als $1$ plus $- 3$

$\frac{3 k^{2} + (1 - 3) k - 1}{3 k^{2} + 14 k + 11} \cdot \frac{3 k^{2} + 8 k - 11}{9 k^{2} - 1}$

Schritt 2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 k^{2} + 1 k - 3 k - 1}{3 k^{2} + 14 k + 11} \cdot \frac{3 k^{2} + 8 k - 11}{9 k^{2} - 1}$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $k$ mit $1$ .

$\frac{3 k^{2} + k - 3 k - 1}{3 k^{2} + 14 k + 11} \cdot \frac{3 k^{2} + 8 k - 11}{9 k^{2} - 1}$

Schritt 2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(3 k^{2} + k) - 3 k - 1}{3 k^{2} + 14 k + 11} \cdot \frac{3 k^{2} + 8 k - 11}{9 k^{2} - 1}$

Schritt 2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{k (3 k + 1) - (3 k + 1)}{3 k^{2} + 14 k + 11} \cdot \frac{3 k^{2} + 8 k - 11}{9 k^{2} - 1}$

Schritt 2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 k + 1$ .

$\frac{(3 k + 1) (k - 1)}{3 k^{2} + 14 k + 11} \cdot \frac{3 k^{2} + 8 k - 11}{9 k^{2} - 1}$

Schritt 3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot 11 = 33$ und deren Summe gleich $b = 14$ ist.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $14$ aus $14 k$ heraus.

$\frac{(3 k + 1) (k - 1)}{3 k^{2} + 14 (k) + 11} \cdot \frac{3 k^{2} + 8 k - 11}{9 k^{2} - 1}$

Schritt 3.1.2

Schreibe $14$ um als $3$ plus $11$

$\frac{(3 k + 1) (k - 1)}{3 k^{2} + (3 + 11) k + 11} \cdot \frac{3 k^{2} + 8 k - 11}{9 k^{2} - 1}$

Schritt 3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(3 k + 1) (k - 1)}{3 k^{2} + 3 k + 11 k + 11} \cdot \frac{3 k^{2} + 8 k - 11}{9 k^{2} - 1}$

Schritt 3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(3 k + 1) (k - 1)}{(3 k^{2} + 3 k) + 11 k + 11} \cdot \frac{3 k^{2} + 8 k - 11}{9 k^{2} - 1}$

Schritt 3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{(3 k + 1) (k - 1)}{3 k (k + 1) + 11 (k + 1)} \cdot \frac{3 k^{2} + 8 k - 11}{9 k^{2} - 1}$

Schritt 3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $k + 1$ .

$\frac{(3 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (3 k + 11)} \cdot \frac{3 k^{2} + 8 k - 11}{9 k^{2} - 1}$

Schritt 4

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot - 11 = - 33$ und deren Summe gleich $b = 8$ ist.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $8$ aus $8 k$ heraus.

$\frac{(3 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (3 k + 11)} \cdot \frac{3 k^{2} + 8 (k) - 11}{9 k^{2} - 1}$

Schritt 4.1.2

Schreibe $8$ um als $- 3$ plus $11$

$\frac{(3 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (3 k + 11)} \cdot \frac{3 k^{2} + (- 3 + 11) k - 11}{9 k^{2} - 1}$

Schritt 4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(3 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (3 k + 11)} \cdot \frac{3 k^{2} - 3 k + 11 k - 11}{9 k^{2} - 1}$

Schritt 4.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(3 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (3 k + 11)} \cdot \frac{(3 k^{2} - 3 k) + 11 k - 11}{9 k^{2} - 1}$

Schritt 4.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{(3 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (3 k + 11)} \cdot \frac{3 k (k - 1) + 11 (k - 1)}{9 k^{2} - 1}$

Schritt 4.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $k - 1$ .

$\frac{(3 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (3 k + 11)} \cdot \frac{(k - 1) (3 k + 11)}{9 k^{2} - 1}$

Schritt 5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.1

Schreibe $9 k^{2}$ als ${(3 k)}^{2}$ um.

$\frac{(3 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (3 k + 11)} \cdot \frac{(k - 1) (3 k + 11)}{{(3 k)}^{2} - 1}$

Schritt 5.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{(3 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (3 k + 11)} \cdot \frac{(k - 1) (3 k + 11)}{{(3 k)}^{2} - 1^{2}}$

Schritt 5.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 3 k$ und $b = 1$ .

$\frac{(3 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (3 k + 11)} \cdot \frac{(k - 1) (3 k + 11)}{(3 k + 1) (3 k - 1)}$

Schritt 6

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 k + 1$ .

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Schritt 6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(3 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (3 k + 11)} \cdot \frac{(k - 1) (3 k + 11)}{(3 k + 1) (3 k - 1)}$

Schritt 6.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{k - 1}{(k + 1) (3 k + 11)} \cdot \frac{(k - 1) (3 k + 11)}{3 k - 1}$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 k + 11$ .

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $3 k + 11$ aus $(k + 1) (3 k + 11)$ heraus.

$\frac{k - 1}{(3 k + 11) (k + 1)} \cdot \frac{(k - 1) (3 k + 11)}{3 k - 1}$

Schritt 6.2.2

Faktorisiere $3 k + 11$ aus $(k - 1) (3 k + 11)$ heraus.

$\frac{k - 1}{(3 k + 11) (k + 1)} \cdot \frac{(3 k + 11) (k - 1)}{3 k - 1}$

Schritt 6.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{k - 1}{(3 k + 11) (k + 1)} \cdot \frac{(3 k + 11) (k - 1)}{3 k - 1}$

Schritt 6.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{k - 1}{k + 1} \cdot \frac{k - 1}{3 k - 1}$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $\frac{k - 1}{k + 1}$ mit $\frac{k - 1}{3 k - 1}$ .

$\frac{(k - 1) (k - 1)}{(k + 1) (3 k - 1)}$

Schritt 7

Potenziere $k - 1$ mit $1$ .

$\frac{{(k - 1)}^{1} (k - 1)}{(k + 1) (3 k - 1)}$

Schritt 8

Potenziere $k - 1$ mit $1$ .

$\frac{{(k - 1)}^{1} {(k - 1)}^{1}}{(k + 1) (3 k - 1)}$

Schritt 9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{(k - 1)}^{1 + 1}}{(k + 1) (3 k - 1)}$

Schritt 10

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{{(k - 1)}^{2}}{(k + 1) (3 k - 1)}$