Grundlegende Mathematik Beispiele

$\frac{2 y^{2} - 9 y - 13}{y^{2} + 4 y + 3} - \frac{y}{y + 1} + \frac{12}{y + 3}$

Schritt 1

Faktorisiere $y^{2} + 4 y + 3$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $3$ und deren Summe $4$ ist.

$1, 3$

Schritt 1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{2 y^{2} - 9 y - 13}{(y + 1) (y + 3)} - \frac{y}{y + 1} + \frac{12}{y + 3}$

Schritt 2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $\frac{y}{y + 1}$ mit $\frac{y + 3}{y + 3}$ .

$\frac{2 y^{2} - 9 y - 13}{(y + 1) (y + 3)} - (\frac{y}{y + 1} \cdot \frac{y + 3}{y + 3}) + \frac{12}{y + 3}$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $\frac{y}{y + 1}$ mit $\frac{y + 3}{y + 3}$ .

$\frac{2 y^{2} - 9 y - 13}{(y + 1) (y + 3)} - \frac{y (y + 3)}{(y + 1) (y + 3)} + \frac{12}{y + 3}$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $\frac{12}{y + 3}$ mit $\frac{y + 1}{y + 1}$ .

$\frac{2 y^{2} - 9 y - 13}{(y + 1) (y + 3)} - \frac{y (y + 3)}{(y + 1) (y + 3)} + \frac{12}{y + 3} \cdot \frac{y + 1}{y + 1}$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $\frac{12}{y + 3}$ mit $\frac{y + 1}{y + 1}$ .

$\frac{2 y^{2} - 9 y - 13}{(y + 1) (y + 3)} - \frac{y (y + 3)}{(y + 1) (y + 3)} + \frac{12 (y + 1)}{(y + 3) (y + 1)}$

Schritt 2.5

Stelle die Faktoren von $(y + 3) (y + 1)$ um.

$\frac{2 y^{2} - 9 y - 13}{(y + 1) (y + 3)} - \frac{y (y + 3)}{(y + 1) (y + 3)} + \frac{12 (y + 1)}{(y + 1) (y + 3)}$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 y^{2} - 9 y - 13 - y (y + 3) + 12 (y + 1)}{(y + 1) (y + 3)}$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 y^{2} - 9 y - 13 - y \cdot y - y \cdot 3 + 12 (y + 1)}{(y + 1) (y + 3)}$

Schritt 3.2.2

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.2.1

Bewege $y$ .

$\frac{2 y^{2} - 9 y - 13 - (y \cdot y) - y \cdot 3 + 12 (y + 1)}{(y + 1) (y + 3)}$

Schritt 3.2.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$\frac{2 y^{2} - 9 y - 13 - y^{2} - y \cdot 3 + 12 (y + 1)}{(y + 1) (y + 3)}$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{2 y^{2} - 9 y - 13 - y^{2} - 3 y + 12 (y + 1)}{(y + 1) (y + 3)}$

Schritt 3.2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 y^{2} - 9 y - 13 - y^{2} - 3 y + 12 y + 12 \cdot 1}{(y + 1) (y + 3)}$

Schritt 3.2.5

Mutltipliziere $12$ mit $1$ .

$\frac{2 y^{2} - 9 y - 13 - y^{2} - 3 y + 12 y + 12}{(y + 1) (y + 3)}$

Schritt 3.3

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 3.3.1

Subtrahiere $y^{2}$ von $2 y^{2}$ .

$\frac{y^{2} - 9 y - 13 - 3 y + 12 y + 12}{(y + 1) (y + 3)}$

Schritt 3.3.2

Subtrahiere $3 y$ von $- 9 y$ .

$\frac{y^{2} - 12 y - 13 + 12 y + 12}{(y + 1) (y + 3)}$

Schritt 3.3.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $y^{2} - 12 y - 13 + 12 y + 12$ .

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Schritt 3.3.3.1

Addiere $- 12 y$ und $12 y$ .

$\frac{y^{2} + 0 - 13 + 12}{(y + 1) (y + 3)}$

Schritt 3.3.3.2

Addiere $y^{2}$ und $0$ .

$\frac{y^{2} - 13 + 12}{(y + 1) (y + 3)}$

Schritt 3.3.4

Addiere $- 13$ und $12$ .

$\frac{y^{2} - 1}{(y + 1) (y + 3)}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{y^{2} - 1^{2}}{(y + 1) (y + 3)}$

Schritt 4.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = y$ und $b = 1$ .

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{(y + 1) (y + 3)}$

Schritt 5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y + 1$ .

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Schritt 5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{(y + 1) (y + 3)}$

Schritt 5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y - 1}{y + 3}$