Grundlegende Mathematik Beispiele

$\frac{10^{2} + 42 b + 36}{6 b^{2} - 2 b - 60} \div \frac{40 b + 48}{3 b^{2} - 13 b + 10}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{10^{2} + 42 b + 36}{6 b^{2} - 2 b - 60} \cdot \frac{3 b^{2} - 13 b + 10}{40 b + 48}$

Schritt 2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1

Es sei $u = b$ . Ersetze $u$ für alle $b$ .

$\frac{42 u + 136}{6 b^{2} - 2 b - 60} \cdot \frac{3 b^{2} - 13 b + 10}{40 b + 48}$

Schritt 2.2

Faktorisiere $2$ aus $42 u + 136$ heraus.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $42 u$ heraus.

$\frac{2 (21 u) + 136}{6 b^{2} - 2 b - 60} \cdot \frac{3 b^{2} - 13 b + 10}{40 b + 48}$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere $2$ aus $136$ heraus.

$\frac{2 (21 u) + 2 (68)}{6 b^{2} - 2 b - 60} \cdot \frac{3 b^{2} - 13 b + 10}{40 b + 48}$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (21 u) + 2 (68)$ heraus.

$\frac{2 (21 u + 68)}{6 b^{2} - 2 b - 60} \cdot \frac{3 b^{2} - 13 b + 10}{40 b + 48}$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $b$ .

$\frac{2 (21 b + 68)}{6 b^{2} - 2 b - 60} \cdot \frac{3 b^{2} - 13 b + 10}{40 b + 48}$

Schritt 3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $2$ aus $6 b^{2} - 2 b - 60$ heraus.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6 b^{2}$ heraus.

$\frac{2 (21 b + 68)}{2 (3 b^{2}) - 2 b - 60} \cdot \frac{3 b^{2} - 13 b + 10}{40 b + 48}$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 b$ heraus.

$\frac{2 (21 b + 68)}{2 (3 b^{2}) + 2 (- b) - 60} \cdot \frac{3 b^{2} - 13 b + 10}{40 b + 48}$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $2$ aus $- 60$ heraus.

$\frac{2 (21 b + 68)}{2 (3 b^{2}) + 2 (- b) + 2 (- 30)} \cdot \frac{3 b^{2} - 13 b + 10}{40 b + 48}$

Schritt 3.1.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (3 b^{2}) + 2 (- b)$ heraus.

$\frac{2 (21 b + 68)}{2 (3 b^{2} - b) + 2 (- 30)} \cdot \frac{3 b^{2} - 13 b + 10}{40 b + 48}$

Schritt 3.1.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (3 b^{2} - b) + 2 (- 30)$ heraus.

$\frac{2 (21 b + 68)}{2 (3 b^{2} - b - 30)} \cdot \frac{3 b^{2} - 13 b + 10}{40 b + 48}$

Schritt 3.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot - 30 = - 90$ und deren Summe gleich $b = - 1$ ist.

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Schritt 3.2.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- b$ heraus.

$\frac{2 (21 b + 68)}{2 (3 b^{2} - (b) - 30)} \cdot \frac{3 b^{2} - 13 b + 10}{40 b + 48}$

Schritt 3.2.1.2

Schreibe $- 1$ um als $9$ plus $- 10$

$\frac{2 (21 b + 68)}{2 (3 b^{2} + (9 - 10) b - 30)} \cdot \frac{3 b^{2} - 13 b + 10}{40 b + 48}$

Schritt 3.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (21 b + 68)}{2 (3 b^{2} + 9 b - 10 b - 30)} \cdot \frac{3 b^{2} - 13 b + 10}{40 b + 48}$

Schritt 3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{2 (21 b + 68)}{2 ((3 b^{2} + 9 b) - 10 b - 30)} \cdot \frac{3 b^{2} - 13 b + 10}{40 b + 48}$

Schritt 3.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{2 (21 b + 68)}{2 (3 b (b + 3) - 10 (b + 3))} \cdot \frac{3 b^{2} - 13 b + 10}{40 b + 48}$

Schritt 3.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $b + 3$ .

$\frac{2 (21 b + 68)}{2 ((b + 3) (3 b - 10))} \cdot \frac{3 b^{2} - 13 b + 10}{40 b + 48}$

$\frac{2 (21 b + 68)}{2 (b + 3) (3 b - 10)} \cdot \frac{3 b^{2} - 13 b + 10}{40 b + 48}$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (21 b + 68)}{2 (b + 3) (3 b - 10)} \cdot \frac{3 b^{2} - 13 b + 10}{40 b + 48}$

Schritt 4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{21 b + 68}{(b + 3) (3 b - 10)} \cdot \frac{3 b^{2} - 13 b + 10}{40 b + 48}$

Schritt 5

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 5.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot 10 = 30$ und deren Summe gleich $b = - 13$ ist.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $- 13$ aus $- 13 b$ heraus.

$\frac{21 b + 68}{(b + 3) (3 b - 10)} \cdot \frac{3 b^{2} - 13 (b) + 10}{40 b + 48}$

Schritt 5.1.2

Schreibe $- 13$ um als $- 3$ plus $- 10$

$\frac{21 b + 68}{(b + 3) (3 b - 10)} \cdot \frac{3 b^{2} + (- 3 - 10) b + 10}{40 b + 48}$

Schritt 5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{21 b + 68}{(b + 3) (3 b - 10)} \cdot \frac{3 b^{2} - 3 b - 10 b + 10}{40 b + 48}$

Schritt 5.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 5.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{21 b + 68}{(b + 3) (3 b - 10)} \cdot \frac{(3 b^{2} - 3 b) - 10 b + 10}{40 b + 48}$

Schritt 5.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{21 b + 68}{(b + 3) (3 b - 10)} \cdot \frac{3 b (b - 1) - 10 (b - 1)}{40 b + 48}$

Schritt 5.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $b - 1$ .

$\frac{21 b + 68}{(b + 3) (3 b - 10)} \cdot \frac{(b - 1) (3 b - 10)}{40 b + 48}$

Schritt 6

Faktorisiere $8$ aus $40 b + 48$ heraus.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $8$ aus $40 b$ heraus.

$\frac{21 b + 68}{(b + 3) (3 b - 10)} \cdot \frac{(b - 1) (3 b - 10)}{8 (5 b) + 48}$

Schritt 6.2

Faktorisiere $8$ aus $48$ heraus.

$\frac{21 b + 68}{(b + 3) (3 b - 10)} \cdot \frac{(b - 1) (3 b - 10)}{8 (5 b) + 8 (6)}$

Schritt 6.3

Faktorisiere $8$ aus $8 (5 b) + 8 (6)$ heraus.

$\frac{21 b + 68}{(b + 3) (3 b - 10)} \cdot \frac{(b - 1) (3 b - 10)}{8 (5 b + 6)}$

Schritt 7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 b - 10$ .

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Schritt 7.1

Faktorisiere $3 b - 10$ aus $(b + 3) (3 b - 10)$ heraus.

$\frac{21 b + 68}{(3 b - 10) (b + 3)} \cdot \frac{(b - 1) (3 b - 10)}{8 (5 b + 6)}$

Schritt 7.2

Faktorisiere $3 b - 10$ aus $(b - 1) (3 b - 10)$ heraus.

$\frac{21 b + 68}{(3 b - 10) (b + 3)} \cdot \frac{(3 b - 10) (b - 1)}{8 (5 b + 6)}$

Schritt 7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{21 b + 68}{(3 b - 10) (b + 3)} \cdot \frac{(3 b - 10) (b - 1)}{8 (5 b + 6)}$

Schritt 7.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{21 b + 68}{b + 3} \cdot \frac{b - 1}{8 (5 b + 6)}$

Schritt 8

Mutltipliziere $\frac{21 b + 68}{b + 3}$ mit $\frac{b - 1}{8 (5 b + 6)}$ .

$\frac{(21 b + 68) (b - 1)}{(b + 3) (8 (5 b + 6))}$

Schritt 9

Bringe $8$ auf die linke Seite von $b + 3$ .

$\frac{(21 b + 68) (b - 1)}{8 (b + 3) (5 b + 6)}$