Grundlegende Mathematik Beispiele

$\frac{\frac{a^{3} - y^{3}}{a^{2} - 2 a y + y^{2}}}{\frac{a^{2} - y^{2}}{a^{2} + 2 a y + y^{2}}}$

Schritt 1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{a^{3} - y^{3}}{a^{2} - 2 a y + y^{2}} \cdot \frac{a^{2} + 2 a y + y^{2}}{a^{2} - y^{2}}$

Schritt 2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = a$ und $b = y$ .

$\frac{(a - y) (a^{2} + a y + y^{2})}{a^{2} - 2 a y + y^{2}} \cdot \frac{a^{2} + 2 a y + y^{2}}{a^{2} - y^{2}}$

Schritt 3

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 3.1

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 a y = 2 \cdot a \cdot y$

Schritt 3.2

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{(a - y) (a^{2} + a y + y^{2})}{a^{2} - 2 \cdot a \cdot y + y^{2}} \cdot \frac{a^{2} + 2 a y + y^{2}}{a^{2} - y^{2}}$

Schritt 3.3

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = a$ und $b = y$ .

$\frac{(a - y) (a^{2} + a y + y^{2})}{{(a - y)}^{2}} \cdot \frac{a^{2} + 2 a y + y^{2}}{a^{2} - y^{2}}$

Schritt 4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $a - y$ aus ${(a - y)}^{2}$ heraus.

$\frac{(a - y) (a^{2} + a y + y^{2})}{(a - y) (a - y)} \cdot \frac{a^{2} + 2 a y + y^{2}}{a^{2} - y^{2}}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(a - y) (a^{2} + a y + y^{2})}{(a - y) (a - y)} \cdot \frac{a^{2} + 2 a y + y^{2}}{a^{2} - y^{2}}$

Schritt 4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{a^{2} + a y + y^{2}}{a - y} \cdot \frac{a^{2} + 2 a y + y^{2}}{a^{2} - y^{2}}$

Schritt 5

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 5.1

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 a y = 2 \cdot a \cdot y$

Schritt 5.2

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{a^{2} + a y + y^{2}}{a - y} \cdot \frac{a^{2} + 2 \cdot a \cdot y + y^{2}}{a^{2} - y^{2}}$

Schritt 5.3

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = a$ und $b = y$ .

$\frac{a^{2} + a y + y^{2}}{a - y} \cdot \frac{{(a + y)}^{2}}{a^{2} - y^{2}}$

Schritt 6

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = a$ und $b = y$ .

$\frac{a^{2} + a y + y^{2}}{a - y} \cdot \frac{{(a + y)}^{2}}{(a + y) (a - y)}$

Schritt 7

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(a + y)}^{2}$ und $a + y$ .

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Schritt 7.1

Faktorisiere $a + y$ aus ${(a + y)}^{2}$ heraus.

$\frac{a^{2} + a y + y^{2}}{a - y} \cdot \frac{(a + y) (a + y)}{(a + y) (a - y)}$

Schritt 7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{a^{2} + a y + y^{2}}{a - y} \cdot \frac{(a + y) (a + y)}{(a + y) (a - y)}$

Schritt 7.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{a^{2} + a y + y^{2}}{a - y} \cdot \frac{a + y}{a - y}$

Schritt 8

Multipliziere $\frac{a^{2} + a y + y^{2}}{a - y} \cdot \frac{a + y}{a - y}$ .

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $\frac{a^{2} + a y + y^{2}}{a - y}$ mit $\frac{a + y}{a - y}$ .

$\frac{(a^{2} + a y + y^{2}) (a + y)}{(a - y) (a - y)}$

Schritt 8.2

Potenziere $a - y$ mit $1$ .

$\frac{(a^{2} + a y + y^{2}) (a + y)}{{(a - y)}^{1} (a - y)}$

Schritt 8.3

Potenziere $a - y$ mit $1$ .

$\frac{(a^{2} + a y + y^{2}) (a + y)}{{(a - y)}^{1} {(a - y)}^{1}}$

Schritt 8.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{(a^{2} + a y + y^{2}) (a + y)}{{(a - y)}^{1 + 1}}$

Schritt 8.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{(a^{2} + a y + y^{2}) (a + y)}{{(a - y)}^{2}}$