Grundlegende Mathematik Beispiele

$\frac{{(a - b)}^{2}}{(b - c) \cdot (c - a)} + \frac{{(b - c)}^{2}}{(c - a) \cdot (a - b)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) \cdot (b - c)}$

Schritt 1

Mutltipliziere $a - b$ mit $b - c$ .

$\frac{{(a - b)}^{2}}{(b - c) (c - a)} + \frac{{(b - c)}^{2}}{(c - a) (a - b)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 2

Um $\frac{{(a - b)}^{2}}{(b - c) (c - a)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{a - b}{a - b}$ .

$\frac{{(a - b)}^{2}}{(b - c) (c - a)} \cdot \frac{a - b}{a - b} + \frac{{(b - c)}^{2}}{(c - a) (a - b)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 3

Um $\frac{{(b - c)}^{2}}{(c - a) (a - b)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{b - c}{b - c}$ .

$\frac{{(a - b)}^{2}}{(b - c) (c - a)} \cdot \frac{a - b}{a - b} + \frac{{(b - c)}^{2}}{(c - a) (a - b)} \cdot \frac{b - c}{b - c} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(b - c) (c - a) (a - b)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{{(a - b)}^{2}}{(b - c) (c - a)}$ mit $\frac{a - b}{a - b}$ .

$\frac{{(a - b)}^{2} (a - b)}{(b - c) (c - a) (a - b)} + \frac{{(b - c)}^{2}}{(c - a) (a - b)} \cdot \frac{b - c}{b - c} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{{(b - c)}^{2}}{(c - a) (a - b)}$ mit $\frac{b - c}{b - c}$ .

$\frac{{(a - b)}^{2} (a - b)}{(b - c) (c - a) (a - b)} + \frac{{(b - c)}^{2} (b - c)}{(c - a) (a - b) (b - c)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 4.3

Stelle die Faktoren von $(b - c) (c - a) (a - b)$ um.

$\frac{{(a - b)}^{2} (a - b)}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(b - c)}^{2} (b - c)}{(c - a) (a - b) (b - c)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 4.4

Stelle die Faktoren von $(c - a) (a - b) (b - c)$ um.

$\frac{{(a - b)}^{2} (a - b)}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(b - c)}^{2} (b - c)}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{{(a - b)}^{2} (a - b) + {(b - c)}^{2} (b - c)}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Multipliziere ${(a - b)}^{2}$ mit $a - b$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1.1.1

Mutltipliziere ${(a - b)}^{2}$ mit $a - b$ .

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Schritt 6.1.1.1.1

Potenziere $a - b$ mit $1$ .

$\frac{{(a - b)}^{2} {(a - b)}^{1} + {(b - c)}^{2} (b - c)}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 6.1.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{(a - b)}^{2 + 1} + {(b - c)}^{2} (b - c)}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 6.1.1.2

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{{(a - b)}^{3} + {(b - c)}^{2} (b - c)}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 6.1.2

Multipliziere ${(b - c)}^{2}$ mit $b - c$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1.2.1

Mutltipliziere ${(b - c)}^{2}$ mit $b - c$ .

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Schritt 6.1.2.1.1

Potenziere $b - c$ mit $1$ .

$\frac{{(a - b)}^{3} + {(b - c)}^{2} {(b - c)}^{1}}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 6.1.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{(a - b)}^{3} + {(b - c)}^{2 + 1}}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 6.1.2.2

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{{(a - b)}^{3} + {(b - c)}^{3}}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 6.1.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = a - b$ und $b = b - c$ .

$\frac{(a - b + b - c) ({(a - b)}^{2} - (a - b) (b - c) + {(b - c)}^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 6.1.4

Vereinfache.

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Schritt 6.1.4.1

Addiere $- b$ und $b$ .

$\frac{(a + 0 - c) ({(a - b)}^{2} - (a - b) (b - c) + {(b - c)}^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 6.1.4.2

Addiere $a$ und $0$ .

$\frac{(a - c) ({(a - b)}^{2} - (a - b) (b - c) + {(b - c)}^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 6.1.4.3

Schreibe ${(a - b)}^{2}$ als $(a - b) (a - b)$ um.

$\frac{(a - c) ((a - b) (a - b) - (a - b) (b - c) + {(b - c)}^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 6.1.4.4

Multipliziere $(a - b) (a - b)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.1.4.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(a - c) (a (a - b) - b (a - b) - (a - b) (b - c) + {(b - c)}^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 6.1.4.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(a - c) (a \cdot a + a (- b) - b (a - b) - (a - b) (b - c) + {(b - c)}^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 6.1.4.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(a - c) (a \cdot a + a (- b) - b a - b (- b) - (a - b) (b - c) + {(b - c)}^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 6.1.4.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.1.4.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.4.5.1.1

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$\frac{(a - c) (a^{2} + a (- b) - b a - b (- b) - (a - b) (b - c) + {(b - c)}^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 6.1.4.5.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{(a - c) (a^{2} - a b - b a - b (- b) - (a - b) (b - c) + {(b - c)}^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 6.1.4.5.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{(a - c) (a^{2} - a b - b a - 1 \cdot - 1 b \cdot b - (a - b) (b - c) + {(b - c)}^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 6.1.4.5.1.4

Multipliziere $b$ mit $b$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1.4.5.1.4.1

Bewege $b$ .

$\frac{(a - c) (a^{2} - a b - b a - 1 \cdot - 1 (b \cdot b) - (a - b) (b - c) + {(b - c)}^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 6.1.4.5.1.4.2

Mutltipliziere $b$ mit $b$ .

$\frac{(a - c) (a^{2} - a b - b a - 1 \cdot - 1 b^{2} - (a - b) (b - c) + {(b - c)}^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 6.1.4.5.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{(a - c) (a^{2} - a b - b a + 1 b^{2} - (a - b) (b - c) + {(b - c)}^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 6.1.4.5.1.6

Mutltipliziere $b^{2}$ mit $1$ .

$\frac{(a - c) (a^{2} - a b - b a + b^{2} - (a - b) (b - c) + {(b - c)}^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 6.1.4.5.2

Subtrahiere $b a$ von $- a b$ .

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Schritt 6.1.4.5.2.1

Bewege $b$ .

$\frac{(a - c) (a^{2} - a b - 1 a b + b^{2} - (a - b) (b - c) + {(b - c)}^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 6.1.4.5.2.2

Subtrahiere $a b$ von $- a b$ .

$\frac{(a - c) (a^{2} - 2 a b + b^{2} - (a - b) (b - c) + {(b - c)}^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 6.1.4.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(a - c) (a^{2} - 2 a b + b^{2} + (- a - - b) (b - c) + {(b - c)}^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 6.1.4.7

Multipliziere $- - b$ .

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Schritt 6.1.4.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{(a - c) (a^{2} - 2 a b + b^{2} + (- a + 1 b) (b - c) + {(b - c)}^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 6.1.4.7.2

Mutltipliziere $b$ mit $1$ .

$\frac{(a - c) (a^{2} - 2 a b + b^{2} + (- a + b) (b - c) + {(b - c)}^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 6.1.4.8

Multipliziere $(- a + b) (b - c)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.1.4.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(a - c) (a^{2} - 2 a b + b^{2} - a (b - c) + b (b - c) + {(b - c)}^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 6.1.4.8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(a - c) (a^{2} - 2 a b + b^{2} - a b - a (- c) + b (b - c) + {(b - c)}^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 6.1.4.8.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(a - c) (a^{2} - 2 a b + b^{2} - a b - a (- c) + b \cdot b + b (- c) + {(b - c)}^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 6.1.4.9

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.4.9.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{(a - c) (a^{2} - 2 a b + b^{2} - a b - 1 \cdot - 1 a c + b \cdot b + b (- c) + {(b - c)}^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 6.1.4.9.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{(a - c) (a^{2} - 2 a b + b^{2} - a b + 1 a c + b \cdot b + b (- c) + {(b - c)}^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 6.1.4.9.3

Mutltipliziere $a$ mit $1$ .

$\frac{(a - c) (a^{2} - 2 a b + b^{2} - a b + a c + b \cdot b + b (- c) + {(b - c)}^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 6.1.4.9.4

Mutltipliziere $b$ mit $b$ .

$\frac{(a - c) (a^{2} - 2 a b + b^{2} - a b + a c + b^{2} + b (- c) + {(b - c)}^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 6.1.4.9.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{(a - c) (a^{2} - 2 a b + b^{2} - a b + a c + b^{2} - b c + {(b - c)}^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 6.1.4.10

Schreibe ${(b - c)}^{2}$ als $(b - c) (b - c)$ um.

$\frac{(a - c) (a^{2} - 2 a b + b^{2} - a b + a c + b^{2} - b c + (b - c) (b - c))}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 6.1.4.11

Multipliziere $(b - c) (b - c)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.1.4.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(a - c) (a^{2} - 2 a b + b^{2} - a b + a c + b^{2} - b c + b (b - c) - c (b - c))}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 6.1.4.11.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(a - c) (a^{2} - 2 a b + b^{2} - a b + a c + b^{2} - b c + b \cdot b + b (- c) - c (b - c))}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 6.1.4.11.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(a - c) (a^{2} - 2 a b + b^{2} - a b + a c + b^{2} - b c + b \cdot b + b (- c) - c b - c (- c))}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 6.1.4.12

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.1.4.12.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.4.12.1.1

Mutltipliziere $b$ mit $b$ .

$\frac{(a - c) (a^{2} - 2 a b + b^{2} - a b + a c + b^{2} - b c + b^{2} + b (- c) - c b - c (- c))}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 6.1.4.12.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{(a - c) (a^{2} - 2 a b + b^{2} - a b + a c + b^{2} - b c + b^{2} - b c - c b - c (- c))}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 6.1.4.12.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{(a - c) (a^{2} - 2 a b + b^{2} - a b + a c + b^{2} - b c + b^{2} - b c - c b - 1 \cdot - 1 c \cdot c)}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 6.1.4.12.1.4

Multipliziere $c$ mit $c$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1.4.12.1.4.1

Bewege $c$ .

$\frac{(a - c) (a^{2} - 2 a b + b^{2} - a b + a c + b^{2} - b c + b^{2} - b c - c b - 1 \cdot - 1 (c \cdot c))}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 6.1.4.12.1.4.2

Mutltipliziere $c$ mit $c$ .

$\frac{(a - c) (a^{2} - 2 a b + b^{2} - a b + a c + b^{2} - b c + b^{2} - b c - c b - 1 \cdot - 1 c^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 6.1.4.12.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{(a - c) (a^{2} - 2 a b + b^{2} - a b + a c + b^{2} - b c + b^{2} - b c - c b + 1 c^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 6.1.4.12.1.6

Mutltipliziere $c^{2}$ mit $1$ .

$\frac{(a - c) (a^{2} - 2 a b + b^{2} - a b + a c + b^{2} - b c + b^{2} - b c - c b + c^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 6.1.4.12.2

Subtrahiere $c b$ von $- b c$ .

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Schritt 6.1.4.12.2.1

Bewege $c$ .

$\frac{(a - c) (a^{2} - 2 a b + b^{2} - a b + a c + b^{2} - b c + b^{2} - b c - 1 b c + c^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 6.1.4.12.2.2

Subtrahiere $b c$ von $- b c$ .

$\frac{(a - c) (a^{2} - 2 a b + b^{2} - a b + a c + b^{2} - b c + b^{2} - 2 b c + c^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 6.1.4.13

Subtrahiere $a b$ von $- 2 a b$ .

$\frac{(a - c) (a^{2} + b^{2} - 3 a b + a c + b^{2} - b c + b^{2} - 2 b c + c^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 6.1.4.14

Addiere $b^{2}$ und $b^{2}$ .

$\frac{(a - c) (a^{2} + 2 b^{2} - 3 a b + a c - b c + b^{2} - 2 b c + c^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 6.1.4.15

Addiere $2 b^{2}$ und $b^{2}$ .

$\frac{(a - c) (a^{2} + 3 b^{2} - 3 a b + a c - b c - 2 b c + c^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 6.1.4.16

Subtrahiere $2 b c$ von $- b c$ .

$\frac{(a - c) (a^{2} + 3 b^{2} - 3 a b + a c - 3 b c + c^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $a - c$ und $c - a$ .

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $a$ heraus.

$\frac{(- 1 (- a) - c) (a^{2} + 3 b^{2} - 3 a b + a c - 3 b c + c^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 6.2.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- c$ heraus.

$\frac{(- 1 (- a) - (c)) (a^{2} + 3 b^{2} - 3 a b + a c - 3 b c + c^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 6.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- a) - (c)$ heraus.

$\frac{- 1 (- a + c) (a^{2} + 3 b^{2} - 3 a b + a c - 3 b c + c^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 6.2.4

Stelle die Terme um.

$\frac{- 1 (- a + c) (a^{2} + 3 b^{2} - 3 a b + a c - 3 b c + c^{2})}{(a - b) (b - c) (- a + c)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 6.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1 (- a + c) (a^{2} + 3 b^{2} - 3 a b + a c - 3 b c + c^{2})}{(a - b) (b - c) (- a + c)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 6.2.6

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1 (a^{2} + 3 b^{2} - 3 a b + a c - 3 b c + c^{2})}{(a - b) (b - c)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 6.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{a^{2} + 3 b^{2} - 3 a b + a c - 3 b c + c^{2}}{(a - b) (b - c)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- (a^{2} + 3 b^{2} - 3 a b + a c - 3 b c + c^{2}) + {(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 8

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- a^{2} - (3 b^{2}) - (- 3 a b) - (a c) - (- 3 b c) - c^{2} + {(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 8.2

Vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{- a^{2} - 3 b^{2} - (- 3 a b) - (a c) - (- 3 b c) - c^{2} + {(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 8.2.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$\frac{- a^{2} - 3 b^{2} + 3 (a b) - (a c) - (- 3 b c) - c^{2} + {(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 8.2.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$\frac{- a^{2} - 3 b^{2} + 3 (a b) - a c + 3 (b c) - c^{2} + {(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 8.3

Entferne die Klammern.

$\frac{- a^{2} - 3 b^{2} + 3 a b - a c + 3 b c - c^{2} + {(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 8.4

Schreibe ${(c - a)}^{2}$ als $(c - a) (c - a)$ um.

$\frac{- a^{2} - 3 b^{2} + 3 a b - a c + 3 b c - c^{2} + (c - a) (c - a)}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 8.5

Multipliziere $(c - a) (c - a)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 8.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- a^{2} - 3 b^{2} + 3 a b - a c + 3 b c - c^{2} + c (c - a) - a (c - a)}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 8.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- a^{2} - 3 b^{2} + 3 a b - a c + 3 b c - c^{2} + c \cdot c + c (- a) - a (c - a)}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 8.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- a^{2} - 3 b^{2} + 3 a b - a c + 3 b c - c^{2} + c \cdot c + c (- a) - a c - a (- a)}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 8.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 8.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.6.1.1

Mutltipliziere $c$ mit $c$ .

$\frac{- a^{2} - 3 b^{2} + 3 a b - a c + 3 b c - c^{2} + c^{2} + c (- a) - a c - a (- a)}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 8.6.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{- a^{2} - 3 b^{2} + 3 a b - a c + 3 b c - c^{2} + c^{2} - c a - a c - a (- a)}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 8.6.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{- a^{2} - 3 b^{2} + 3 a b - a c + 3 b c - c^{2} + c^{2} - c a - a c - 1 \cdot - 1 a \cdot a}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 8.6.1.4

Multipliziere $a$ mit $a$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.6.1.4.1

Bewege $a$ .

$\frac{- a^{2} - 3 b^{2} + 3 a b - a c + 3 b c - c^{2} + c^{2} - c a - a c - 1 \cdot - 1 (a \cdot a)}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 8.6.1.4.2

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$\frac{- a^{2} - 3 b^{2} + 3 a b - a c + 3 b c - c^{2} + c^{2} - c a - a c - 1 \cdot - 1 a^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 8.6.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{- a^{2} - 3 b^{2} + 3 a b - a c + 3 b c - c^{2} + c^{2} - c a - a c + 1 a^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 8.6.1.6

Mutltipliziere $a^{2}$ mit $1$ .

$\frac{- a^{2} - 3 b^{2} + 3 a b - a c + 3 b c - c^{2} + c^{2} - c a - a c + a^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 8.6.2

Subtrahiere $a c$ von $- c a$ .

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Schritt 8.6.2.1

Bewege $c$ .

$\frac{- a^{2} - 3 b^{2} + 3 a b - a c + 3 b c - c^{2} + c^{2} - a c - a c + a^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 8.6.2.2

Subtrahiere $a c$ von $- a c$ .

$\frac{- a^{2} - 3 b^{2} + 3 a b - a c + 3 b c - c^{2} + c^{2} - 2 a c + a^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 9

Vereinfache Terme.

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Schritt 9.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- a^{2} - 3 b^{2} + 3 a b - a c + 3 b c - c^{2} + c^{2} - 2 a c + a^{2}$ .

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Schritt 9.1.1

Addiere $- c^{2}$ und $c^{2}$ .

$\frac{- a^{2} - 3 b^{2} + 3 a b - a c + 3 b c + 0 - 2 a c + a^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 9.1.2

Addiere $- a^{2} - 3 b^{2} + 3 a b - a c + 3 b c$ und $0$ .

$\frac{- a^{2} - 3 b^{2} + 3 a b - a c + 3 b c - 2 a c + a^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 9.1.3

Addiere $- a^{2}$ und $a^{2}$ .

$\frac{- 3 b^{2} + 3 a b - a c + 3 b c - 2 a c + 0}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 9.1.4

Addiere $- 3 b^{2} + 3 a b - a c + 3 b c - 2 a c$ und $0$ .

$\frac{- 3 b^{2} + 3 a b - a c + 3 b c - 2 a c}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 9.2

Subtrahiere $2 a c$ von $- a c$ .

$\frac{- 3 b^{2} + 3 a b - 3 a c + 3 b c}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 9.3

Faktorisiere $3$ aus $- 3 b^{2} + 3 a b - 3 a c + 3 b c$ heraus.

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Schritt 9.3.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 b^{2}$ heraus.

$\frac{3 (- b^{2}) + 3 a b - 3 a c + 3 b c}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 9.3.2

Faktorisiere $3$ aus $3 a b$ heraus.

$\frac{3 (- b^{2}) + 3 (a b) - 3 a c + 3 b c}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 9.3.3

Faktorisiere $3$ aus $- 3 a c$ heraus.

$\frac{3 (- b^{2}) + 3 (a b) + 3 (- a c) + 3 b c}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 9.3.4

Faktorisiere $3$ aus $3 b c$ heraus.

$\frac{3 (- b^{2}) + 3 (a b) + 3 (- a c) + 3 (b c)}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 9.3.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (- b^{2}) + 3 (a b)$ heraus.

$\frac{3 (- b^{2} + a b) + 3 (- a c) + 3 (b c)}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 9.3.6

Faktorisiere $3$ aus $3 (- b^{2} + a b) + 3 (- a c)$ heraus.

$\frac{3 (- b^{2} + a b - a c) + 3 (b c)}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 9.3.7

Faktorisiere $3$ aus $3 (- b^{2} + a b - a c) + 3 (b c)$ heraus.

$\frac{3 (- b^{2} + a b - a c + b c)}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 9.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- b^{2}$ heraus.

$\frac{3 (- (b^{2}) + a b - a c + b c)}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 9.5

Faktorisiere $- 1$ aus $a b$ heraus.

$\frac{3 (- (b^{2}) - (- a b) - a c + b c)}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 9.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (b^{2}) - (- a b)$ heraus.

$\frac{3 (- (b^{2} - a b) - a c + b c)}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 9.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- a c$ heraus.

$\frac{3 (- (b^{2} - a b) - (a c) + b c)}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 9.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (b^{2} - a b) - (a c)$ heraus.

$\frac{3 (- (b^{2} - a b + a c) + b c)}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 9.9

Faktorisiere $- 1$ aus $b c$ heraus.

$\frac{3 (- (b^{2} - a b + a c) - (- b c))}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 9.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- (b^{2} - a b + a c) - (- b c)$ heraus.

$\frac{3 (- (b^{2} - a b + a c - b c))}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 9.11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.11.1

Schreibe $- (b^{2} - a b + a c - b c)$ als $- 1 (b^{2} - a b + a c - b c)$ um.

$\frac{3 (- 1 (b^{2} - a b + a c - b c))}{(a - b) (b - c)}$

Schritt 9.11.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3 (b^{2} - a b + a c - b c)}{(a - b) (b - c)}$