Grundlegende Mathematik Beispiele

${((a^{- 1} + b^{- 1}) (a^{- 1} - b^{- 1}))}^{- 1}$

Schritt 1

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${((\frac{1}{a} + b^{- 1}) (a^{- 1} - b^{- 1}))}^{- 1}$

Schritt 1.1.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${((\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) (a^{- 1} - b^{- 1}))}^{- 1}$

Schritt 1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${((\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) (\frac{1}{a} - b^{- 1}))}^{- 1}$

Schritt 1.2.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${((\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) (\frac{1}{a} - \frac{1}{b}))}^{- 1}$

Schritt 2

Multipliziere $(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) (\frac{1}{a} - \frac{1}{b})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

${(\frac{1}{a} (\frac{1}{a} - \frac{1}{b}) + \frac{1}{b} (\frac{1}{a} - \frac{1}{b}))}^{- 1}$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

${(\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{a} + \frac{1}{a} (- \frac{1}{b}) + \frac{1}{b} (\frac{1}{a} - \frac{1}{b}))}^{- 1}$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

${(\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{a} + \frac{1}{a} (- \frac{1}{b}) + \frac{1}{b} \cdot \frac{1}{a} + \frac{1}{b} (- \frac{1}{b}))}^{- 1}$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{a} + \frac{1}{a} (- \frac{1}{b}) + \frac{1}{b} \cdot \frac{1}{a} + \frac{1}{b} (- \frac{1}{b})$ .

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Schritt 3.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen $\frac{1}{a} (- \frac{1}{b})$ und $\frac{1}{b} \cdot \frac{1}{a}$ neu an.

${(\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{a} - \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b} + \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b} + \frac{1}{b} (- \frac{1}{b}))}^{- 1}$

Schritt 3.1.2

Addiere $- \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b}$ und $\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b}$ .

${(\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{a} + 0 + \frac{1}{b} (- \frac{1}{b}))}^{- 1}$

Schritt 3.1.3

Addiere $\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{a}$ und $0$ .

${(\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{a} + \frac{1}{b} (- \frac{1}{b}))}^{- 1}$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Multipliziere $\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{a}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{a}$ mit $\frac{1}{a}$ .

${(\frac{1}{a \cdot a} + \frac{1}{b} (- \frac{1}{b}))}^{- 1}$

Schritt 3.2.1.2

Potenziere $a$ mit $1$ .

${(\frac{1}{a^{1} a} + \frac{1}{b} (- \frac{1}{b}))}^{- 1}$

Schritt 3.2.1.3

Potenziere $a$ mit $1$ .

${(\frac{1}{a^{1} a^{1}} + \frac{1}{b} (- \frac{1}{b}))}^{- 1}$

Schritt 3.2.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${(\frac{1}{a^{1 + 1}} + \frac{1}{b} (- \frac{1}{b}))}^{- 1}$

Schritt 3.2.1.5

Addiere $1$ und $1$ .

${(\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b} (- \frac{1}{b}))}^{- 1}$

Schritt 3.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

${(\frac{1}{a^{2}} - \frac{1}{b} \cdot \frac{1}{b})}^{- 1}$

Schritt 3.2.3

Multipliziere $- \frac{1}{b} \cdot \frac{1}{b}$ .

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Schritt 3.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{b}$ mit $\frac{1}{b}$ .

${(\frac{1}{a^{2}} - \frac{1}{b \cdot b})}^{- 1}$

Schritt 3.2.3.2

Potenziere $b$ mit $1$ .

${(\frac{1}{a^{2}} - \frac{1}{b^{1} b})}^{- 1}$

Schritt 3.2.3.3

Potenziere $b$ mit $1$ .

${(\frac{1}{a^{2}} - \frac{1}{b^{1} b^{1}})}^{- 1}$

Schritt 3.2.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${(\frac{1}{a^{2}} - \frac{1}{b^{1 + 1}})}^{- 1}$

Schritt 3.2.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

${(\frac{1}{a^{2}} - \frac{1}{b^{2}})}^{- 1}$

Schritt 4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{a^{2}} - \frac{1}{b^{2}}}$

Schritt 5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{1}{\frac{1^{2}}{a^{2}} - \frac{1}{b^{2}}}$

Schritt 5.2

Schreibe $\frac{1^{2}}{a^{2}}$ als ${(\frac{1}{a})}^{2}$ um.

$\frac{1}{{(\frac{1}{a})}^{2} - \frac{1}{b^{2}}}$

Schritt 5.3

Schreibe $\frac{1}{b^{2}}$ als ${(\frac{1}{b})}^{2}$ um.

$\frac{1}{{(\frac{1}{a})}^{2} - {(\frac{1}{b})}^{2}}$

Schritt 5.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \frac{1}{a}$ und $b = \frac{1}{b}$ .

$\frac{1}{(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) (\frac{1}{a} - \frac{1}{b})}$

Schritt 5.5

Um $\frac{1}{a}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{b}{b}$ .

$\frac{1}{(\frac{1}{a} \cdot \frac{b}{b} + \frac{1}{b}) (\frac{1}{a} - \frac{1}{b})}$

Schritt 5.6

Um $\frac{1}{b}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{a}{a}$ .

$\frac{1}{(\frac{1}{a} \cdot \frac{b}{b} + \frac{1}{b} \cdot \frac{a}{a}) (\frac{1}{a} - \frac{1}{b})}$

Schritt 5.7

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $a b$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{a}$ mit $\frac{b}{b}$ .

$\frac{1}{(\frac{b}{a b} + \frac{1}{b} \cdot \frac{a}{a}) (\frac{1}{a} - \frac{1}{b})}$

Schritt 5.7.2

Mutltipliziere $\frac{1}{b}$ mit $\frac{a}{a}$ .

$\frac{1}{(\frac{b}{a b} + \frac{a}{b a}) (\frac{1}{a} - \frac{1}{b})}$

Schritt 5.7.3

Stelle die Faktoren von $b a$ um.

$\frac{1}{(\frac{b}{a b} + \frac{a}{a b}) (\frac{1}{a} - \frac{1}{b})}$

Schritt 5.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{\frac{b + a}{a b} (\frac{1}{a} - \frac{1}{b})}$

Schritt 5.9

Um $\frac{1}{a}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{b}{b}$ .

$\frac{1}{\frac{b + a}{a b} (\frac{1}{a} \cdot \frac{b}{b} - \frac{1}{b})}$

Schritt 5.10

Um $- \frac{1}{b}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{a}{a}$ .

$\frac{1}{\frac{b + a}{a b} (\frac{1}{a} \cdot \frac{b}{b} - \frac{1}{b} \cdot \frac{a}{a})}$

Schritt 5.11

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $a b$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.11.1

Mutltipliziere $\frac{1}{a}$ mit $\frac{b}{b}$ .

$\frac{1}{\frac{b + a}{a b} (\frac{b}{a b} - \frac{1}{b} \cdot \frac{a}{a})}$

Schritt 5.11.2

Mutltipliziere $\frac{1}{b}$ mit $\frac{a}{a}$ .

$\frac{1}{\frac{b + a}{a b} (\frac{b}{a b} - \frac{a}{b a})}$

Schritt 5.11.3

Stelle die Faktoren von $b a$ um.

$\frac{1}{\frac{b + a}{a b} (\frac{b}{a b} - \frac{a}{a b})}$

Schritt 5.12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{\frac{b + a}{a b} \cdot \frac{b - a}{a b}}$

Schritt 6

Mutltipliziere $\frac{b + a}{a b}$ mit $\frac{b - a}{a b}$ .

$\frac{1}{\frac{(b + a) (b - a)}{a b (a b)}}$

Schritt 7

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.1

Potenziere $a$ mit $1$ .

$\frac{1}{\frac{(b + a) (b - a)}{a^{1} a b \cdot b}}$

Schritt 7.2

Potenziere $a$ mit $1$ .

$\frac{1}{\frac{(b + a) (b - a)}{a^{1} a^{1} b \cdot b}}$

Schritt 7.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{\frac{(b + a) (b - a)}{a^{1 + 1} b \cdot b}}$

Schritt 7.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{\frac{(b + a) (b - a)}{a^{2} b \cdot b}}$

Schritt 7.5

Potenziere $b$ mit $1$ .

$\frac{1}{\frac{(b + a) (b - a)}{a^{2} (b^{1} b)}}$

Schritt 7.6

Potenziere $b$ mit $1$ .

$\frac{1}{\frac{(b + a) (b - a)}{a^{2} (b^{1} b^{1})}}$

Schritt 7.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{\frac{(b + a) (b - a)}{a^{2} b^{1 + 1}}}$

Schritt 7.8

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{\frac{(b + a) (b - a)}{a^{2} b^{2}}}$

Schritt 8

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$1 \frac{a^{2} b^{2}}{(b + a) (b - a)}$

Schritt 9

Mutltipliziere $\frac{a^{2} b^{2}}{(b + a) (b - a)}$ mit $1$ .

$\frac{a^{2} b^{2}}{(b + a) (b - a)}$