Grundlegende Mathematik Beispiele

\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{3} + 1} - \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}

$\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{3} + 1} - \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Mutltipliziere

\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{3} + 1}

$\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{3} + 1}$ mit

\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} - 1}

$\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} - 1}$ .

\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{3} + 1} \cdot \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} - 1} - \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}

$\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{3} + 1} \cdot \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} - 1} - \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$

Schritt 1.2

Mutltipliziere

\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{3} + 1}

$\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{3} + 1}$ mit

\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} - 1}

$\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} - 1}$ .

\frac{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)} - \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}

$\frac{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)} - \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$

Schritt 1.3

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

\frac{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{3} - 1)}{{\sqrt{3}}^{2} + \sqrt{3} \cdot - 1 + \sqrt{3} - 1} - \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}

$\frac{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{3} - 1)}{{\sqrt{3}}^{2} + \sqrt{3} \cdot - 1 + \sqrt{3} - 1} - \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

\frac{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{3} - 1)}{2} - \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}

$\frac{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{3} - 1)}{2} - \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$

Schritt 1.5

Multipliziere

(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{3} - 1)

$(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{3} - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

\frac{\sqrt{2} (\sqrt{3} - 1) + 1 (\sqrt{3} - 1)}{2} - \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}

$\frac{\sqrt{2} (\sqrt{3} - 1) + 1 (\sqrt{3} - 1)}{2} - \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$

Schritt 1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

\frac{\sqrt{2} \sqrt{3} + \sqrt{2} \cdot - 1 + 1 (\sqrt{3} - 1)}{2} - \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3} + \sqrt{2} \cdot - 1 + 1 (\sqrt{3} - 1)}{2} - \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$

Schritt 1.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

\frac{\sqrt{2} \sqrt{3} + \sqrt{2} \cdot - 1 + 1 \sqrt{3} + 1 \cdot - 1}{2} - \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3} + \sqrt{2} \cdot - 1 + 1 \sqrt{3} + 1 \cdot - 1}{2} - \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$

\frac{\sqrt{2} \sqrt{3} + \sqrt{2} \cdot - 1 + 1 \sqrt{3} + 1 \cdot - 1}{2} - \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3} + \sqrt{2} \cdot - 1 + 1 \sqrt{3} + 1 \cdot - 1}{2} - \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$

Schritt 1.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.6.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

\frac{\sqrt{2 \cdot 3} + \sqrt{2} \cdot - 1 + 1 \sqrt{3} + 1 \cdot - 1}{2} - \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}

$\frac{\sqrt{2 \cdot 3} + \sqrt{2} \cdot - 1 + 1 \sqrt{3} + 1 \cdot - 1}{2} - \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$

Schritt 1.6.2

Mutltipliziere

2

$2$ mit

3

$3$ .

\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2} \cdot - 1 + 1 \sqrt{3} + 1 \cdot - 1}{2} - \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2} \cdot - 1 + 1 \sqrt{3} + 1 \cdot - 1}{2} - \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$

Schritt 1.6.3

Bringe

- 1

$- 1$ auf die linke Seite von

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ .

\frac{\sqrt{6} - 1 \cdot \sqrt{2} + 1 \sqrt{3} + 1 \cdot - 1}{2} - \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}

$\frac{\sqrt{6} - 1 \cdot \sqrt{2} + 1 \sqrt{3} + 1 \cdot - 1}{2} - \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$

Schritt 1.6.4

Schreibe

- 1 \sqrt{2}

$- 1 \sqrt{2}$ als

- \sqrt{2}

$- \sqrt{2}$ um.

\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + 1 \sqrt{3} + 1 \cdot - 1}{2} - \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + 1 \sqrt{3} + 1 \cdot - 1}{2} - \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$

Schritt 1.6.5

Mutltipliziere

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ mit

1

$1$ .

\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} + 1 \cdot - 1}{2} - \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} + 1 \cdot - 1}{2} - \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$

Schritt 1.6.6

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

1

$1$ .

\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} - 1}{2} - \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} - 1}{2} - \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$

\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} - 1}{2} - \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} - 1}{2} - \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$

Schritt 1.7

Mutltipliziere

\frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}

$\frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$ mit

\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}

$\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ .

\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} - 1}{2} - (\frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}})

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} - 1}{2} - (\frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}})$

Schritt 1.8

Mutltipliziere

\frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}

$\frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$ mit

\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}

$\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ .

\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} - 1}{2} - \frac{(\sqrt{2} - 1) (\sqrt{5} + \sqrt{3})}{(\sqrt{5} - \sqrt{3}) (\sqrt{5} + \sqrt{3})}

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} - 1}{2} - \frac{(\sqrt{2} - 1) (\sqrt{5} + \sqrt{3})}{(\sqrt{5} - \sqrt{3}) (\sqrt{5} + \sqrt{3})}$

Schritt 1.9

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} - 1}{2} - \frac{(\sqrt{2} - 1) (\sqrt{5} + \sqrt{3})}{{\sqrt{5}}^{2} + \sqrt{15} - \sqrt{15} - {\sqrt{3}}^{2}}

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} - 1}{2} - \frac{(\sqrt{2} - 1) (\sqrt{5} + \sqrt{3})}{{\sqrt{5}}^{2} + \sqrt{15} - \sqrt{15} - {\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 1.10

Vereinfache.

\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} - 1}{2} - \frac{(\sqrt{2} - 1) (\sqrt{5} + \sqrt{3})}{2}

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} - 1}{2} - \frac{(\sqrt{2} - 1) (\sqrt{5} + \sqrt{3})}{2}$

Schritt 1.11

Multipliziere

(\sqrt{2} - 1) (\sqrt{5} + \sqrt{3})

$(\sqrt{2} - 1) (\sqrt{5} + \sqrt{3})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} - 1}{2} - \frac{\sqrt{2} (\sqrt{5} + \sqrt{3}) - 1 (\sqrt{5} + \sqrt{3})}{2}

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} - 1}{2} - \frac{\sqrt{2} (\sqrt{5} + \sqrt{3}) - 1 (\sqrt{5} + \sqrt{3})}{2}$

Schritt 1.11.2

Wende das Distributivgesetz an.

\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} - 1}{2} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{5} + \sqrt{2} \sqrt{3} - 1 (\sqrt{5} + \sqrt{3})}{2}

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} - 1}{2} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{5} + \sqrt{2} \sqrt{3} - 1 (\sqrt{5} + \sqrt{3})}{2}$

Schritt 1.11.3

Wende das Distributivgesetz an.

\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} - 1}{2} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{5} + \sqrt{2} \sqrt{3} - 1 \sqrt{5} - 1 \sqrt{3}}{2}

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} - 1}{2} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{5} + \sqrt{2} \sqrt{3} - 1 \sqrt{5} - 1 \sqrt{3}}{2}$

\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} - 1}{2} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{5} + \sqrt{2} \sqrt{3} - 1 \sqrt{5} - 1 \sqrt{3}}{2}

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} - 1}{2} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{5} + \sqrt{2} \sqrt{3} - 1 \sqrt{5} - 1 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.12

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.12.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} - 1}{2} - \frac{\sqrt{2 \cdot 5} + \sqrt{2} \sqrt{3} - 1 \sqrt{5} - 1 \sqrt{3}}{2}

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} - 1}{2} - \frac{\sqrt{2 \cdot 5} + \sqrt{2} \sqrt{3} - 1 \sqrt{5} - 1 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.12.2

Mutltipliziere

2

$2$ mit

5

$5$ .

\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} - 1}{2} - \frac{\sqrt{10} + \sqrt{2} \sqrt{3} - 1 \sqrt{5} - 1 \sqrt{3}}{2}

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} - 1}{2} - \frac{\sqrt{10} + \sqrt{2} \sqrt{3} - 1 \sqrt{5} - 1 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.12.3

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} - 1}{2} - \frac{\sqrt{10} + \sqrt{2 \cdot 3} - 1 \sqrt{5} - 1 \sqrt{3}}{2}

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} - 1}{2} - \frac{\sqrt{10} + \sqrt{2 \cdot 3} - 1 \sqrt{5} - 1 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.12.4

Mutltipliziere

2

$2$ mit

3

$3$ .

\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} - 1}{2} - \frac{\sqrt{10} + \sqrt{6} - 1 \sqrt{5} - 1 \sqrt{3}}{2}

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} - 1}{2} - \frac{\sqrt{10} + \sqrt{6} - 1 \sqrt{5} - 1 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.12.5

Schreibe

- 1 \sqrt{5}

$- 1 \sqrt{5}$ als

- \sqrt{5}

$- \sqrt{5}$ um.

\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} - 1}{2} - \frac{\sqrt{10} + \sqrt{6} - \sqrt{5} - 1 \sqrt{3}}{2}

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} - 1}{2} - \frac{\sqrt{10} + \sqrt{6} - \sqrt{5} - 1 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.12.6

Schreibe

- 1 \sqrt{3}

$- 1 \sqrt{3}$ als

- \sqrt{3}

$- \sqrt{3}$ um.

\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} - 1}{2} - \frac{\sqrt{10} + \sqrt{6} - \sqrt{5} - \sqrt{3}}{2}

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} - 1}{2} - \frac{\sqrt{10} + \sqrt{6} - \sqrt{5} - \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} - 1 - (\sqrt{10} + \sqrt{6} - \sqrt{5} - \sqrt{3})}{2}$

Schritt 3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} - 1 - \sqrt{10} - \sqrt{6} - - \sqrt{5} - - \sqrt{3}}{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Multipliziere

$- - \sqrt{5}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$- 1$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} - 1 - \sqrt{10} - \sqrt{6} + 1 \sqrt{5} - - \sqrt{3}}{2}$

Schritt 3.2.1.2

Mutltipliziere

$\sqrt{5}$ mit

$1$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} - 1 - \sqrt{10} - \sqrt{6} + \sqrt{5} - - \sqrt{3}}{2}$

Schritt 3.2.2

Multipliziere

$- - \sqrt{3}$ .

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Schritt 3.2.2.1

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$- 1$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} - 1 - \sqrt{10} - \sqrt{6} + \sqrt{5} + 1 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 3.2.2.2

Mutltipliziere

$\sqrt{3}$ mit

$1$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} - 1 - \sqrt{10} - \sqrt{6} + \sqrt{5} + \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1

Subtrahiere

$\sqrt{6}$ von

$\sqrt{6}$ .

$\frac{0 - \sqrt{2} + \sqrt{3} - 1 - \sqrt{10} + \sqrt{5} + \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.2

Subtrahiere

$\sqrt{2}$ von

$0$ .

$\frac{- \sqrt{2} + \sqrt{3} - 1 - \sqrt{10} + \sqrt{5} + \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.3

Addiere

$\sqrt{3}$ und

$\sqrt{3}$ .

$\frac{- \sqrt{2} - 1 - \sqrt{10} + \sqrt{5} + 2 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.4

Faktorisiere

$- 1$ aus

$- \sqrt{2}$ heraus.

$\frac{- (\sqrt{2}) - 1 - \sqrt{10} + \sqrt{5} + 2 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.5

Schreibe

$- 1$ als

$- 1 (1)$ um.

$\frac{- (\sqrt{2}) - 1 (1) - \sqrt{10} + \sqrt{5} + 2 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.6

Faktorisiere

$- 1$ aus

$- (\sqrt{2}) - 1 (1)$ heraus.

$\frac{- (\sqrt{2} + 1) - \sqrt{10} + \sqrt{5} + 2 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.7

Faktorisiere

$- 1$ aus

$- \sqrt{10}$ heraus.

$\frac{- (\sqrt{2} + 1) - (\sqrt{10}) + \sqrt{5} + 2 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.8

Faktorisiere

$- 1$ aus

$- (\sqrt{2} + 1) - (\sqrt{10})$ heraus.

$\frac{- (\sqrt{2} + 1 + \sqrt{10}) + \sqrt{5} + 2 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.9

Faktorisiere

$- 1$ aus

$\sqrt{5}$ heraus.

$\frac{- (\sqrt{2} + 1 + \sqrt{10}) - 1 (- \sqrt{5}) + 2 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.10

Faktorisiere

$- 1$ aus

$- (\sqrt{2} + 1 + \sqrt{10}) - 1 (- \sqrt{5})$ heraus.

$\frac{- (\sqrt{2} + 1 + \sqrt{10} - \sqrt{5}) + 2 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.11

Faktorisiere

$- 1$ aus

$2 \sqrt{3}$ heraus.

$\frac{- (\sqrt{2} + 1 + \sqrt{10} - \sqrt{5}) - (- 2 \sqrt{3})}{2}$

Schritt 4.12

Faktorisiere

$- 1$ aus

$- (\sqrt{2} + 1 + \sqrt{10} - \sqrt{5}) - (- 2 \sqrt{3})$ heraus.

$\frac{- (\sqrt{2} + 1 + \sqrt{10} - \sqrt{5} - 2 \sqrt{3})}{2}$

Schritt 4.13

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.13.1

Schreibe

$- (\sqrt{2} + 1 + \sqrt{10} - \sqrt{5} - 2 \sqrt{3})$ als

$- 1 (\sqrt{2} + 1 + \sqrt{10} - \sqrt{5} - 2 \sqrt{3})$ um.

$\frac{- 1 (\sqrt{2} + 1 + \sqrt{10} - \sqrt{5} - 2 \sqrt{3})}{2}$

Schritt 4.13.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{\sqrt{2} + 1 + \sqrt{10} - \sqrt{5} - 2 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{\sqrt{2} + 1 + \sqrt{10} - \sqrt{5} - 2 \sqrt{3}}{2}$

Dezimalform:

$0.06183918 \dots$