Grundlegende Mathematik Beispiele

$\frac{1}{a^{2} - 1} + \frac{a - 1}{a^{2} + 3 a - 4}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{1}{a^{2} - 1^{2}} + \frac{a - 1}{a^{2} + 3 a - 4}$

Schritt 1.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = a$ und $b = 1$ .

$\frac{1}{(a + 1) (a - 1)} + \frac{a - 1}{a^{2} + 3 a - 4}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $a^{2} + 3 a - 4$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 4$ und deren Summe $3$ ist.

$- 1, 4$

Schritt 1.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{1}{(a + 1) (a - 1)} + \frac{a - 1}{(a - 1) (a + 4)}$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a - 1$ .

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Schritt 1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{(a + 1) (a - 1)} + \frac{a - 1}{(a - 1) (a + 4)}$

Schritt 1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{(a + 1) (a - 1)} + \frac{1}{a + 4}$

Schritt 2

Um $\frac{1}{(a + 1) (a - 1)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{a + 4}{a + 4}$ .

$\frac{1}{(a + 1) (a - 1)} \cdot \frac{a + 4}{a + 4} + \frac{1}{a + 4}$

Schritt 3

Um $\frac{1}{a + 4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{(a + 1) (a - 1)}{(a + 1) (a - 1)}$ .

$\frac{1}{(a + 1) (a - 1)} \cdot \frac{a + 4}{a + 4} + \frac{1}{a + 4} \cdot \frac{(a + 1) (a - 1)}{(a + 1) (a - 1)}$

Schritt 4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(a + 1) (a - 1) (a + 4)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{(a + 1) (a - 1)}$ mit $\frac{a + 4}{a + 4}$ .

$\frac{a + 4}{(a + 1) (a - 1) (a + 4)} + \frac{1}{a + 4} \cdot \frac{(a + 1) (a - 1)}{(a + 1) (a - 1)}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{a + 4}$ mit $\frac{(a + 1) (a - 1)}{(a + 1) (a - 1)}$ .

$\frac{a + 4}{(a + 1) (a - 1) (a + 4)} + \frac{(a + 1) (a - 1)}{(a + 4) ((a + 1) (a - 1))}$

Schritt 4.3

Stelle die Faktoren von $(a + 1) (a - 1) (a + 4)$ um.

$\frac{a + 4}{(a + 1) (a + 4) (a - 1)} + \frac{(a + 1) (a - 1)}{(a + 4) ((a + 1) (a - 1))}$

Schritt 4.4

Stelle die Faktoren von $(a + 4) ((a + 1) (a - 1))$ um.

$\frac{a + 4}{(a + 1) (a + 4) (a - 1)} + \frac{(a + 1) (a - 1)}{(a + 1) (a + 4) (a - 1)}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{a + 4 + (a + 1) (a - 1)}{(a + 1) (a + 4) (a - 1)}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Multipliziere $(a + 1) (a - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a + 4 + a (a - 1) + 1 (a - 1)}{(a + 1) (a + 4) (a - 1)}$

Schritt 6.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a + 4 + a \cdot a + a \cdot - 1 + 1 (a - 1)}{(a + 1) (a + 4) (a - 1)}$

Schritt 6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a + 4 + a \cdot a + a \cdot - 1 + 1 a + 1 \cdot - 1}{(a + 1) (a + 4) (a - 1)}$

Schritt 6.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$\frac{a + 4 + a^{2} + a \cdot - 1 + 1 a + 1 \cdot - 1}{(a + 1) (a + 4) (a - 1)}$

Schritt 6.2.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $a$ .

$\frac{a + 4 + a^{2} - 1 \cdot a + 1 a + 1 \cdot - 1}{(a + 1) (a + 4) (a - 1)}$

Schritt 6.2.1.3

Schreibe $- 1 a$ als $- a$ um.

$\frac{a + 4 + a^{2} - a + 1 a + 1 \cdot - 1}{(a + 1) (a + 4) (a - 1)}$

Schritt 6.2.1.4

Mutltipliziere $a$ mit $1$ .

$\frac{a + 4 + a^{2} - a + a + 1 \cdot - 1}{(a + 1) (a + 4) (a - 1)}$

Schritt 6.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{a + 4 + a^{2} - a + a - 1}{(a + 1) (a + 4) (a - 1)}$

Schritt 6.2.2

Addiere $- a$ und $a$ .

$\frac{a + 4 + a^{2} + 0 - 1}{(a + 1) (a + 4) (a - 1)}$

Schritt 6.2.3

Addiere $a^{2}$ und $0$ .

$\frac{a + 4 + a^{2} - 1}{(a + 1) (a + 4) (a - 1)}$

Schritt 6.3

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$\frac{a + a^{2} + 3}{(a + 1) (a + 4) (a - 1)}$

Schritt 6.4

Stelle die Terme um.

$\frac{a^{2} + a + 3}{(a + 1) (a + 4) (a - 1)}$