Grundlegende Mathematik Beispiele

$\frac{z^{3} - 8}{z^{3} + 8} \div \frac{z^{2} - 4}{z^{2} - 2 z + 4}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{z^{3} - 8}{z^{3} + 8} \cdot \frac{z^{2} - 2 z + 4}{z^{2} - 4}$

Schritt 2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$\frac{z^{3} - 2^{3}}{z^{3} + 8} \cdot \frac{z^{2} - 2 z + 4}{z^{2} - 4}$

Schritt 2.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = z$ und $b = 2$ .

$\frac{(z - 2) (z^{2} + z \cdot 2 + 2^{2})}{z^{3} + 8} \cdot \frac{z^{2} - 2 z + 4}{z^{2} - 4}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $z$ .

$\frac{(z - 2) (z^{2} + 2 \cdot z + 2^{2})}{z^{3} + 8} \cdot \frac{z^{2} - 2 z + 4}{z^{2} - 4}$

Schritt 2.3.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{(z - 2) (z^{2} + 2 z + 4)}{z^{3} + 8} \cdot \frac{z^{2} - 2 z + 4}{z^{2} - 4}$

Schritt 3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$\frac{(z - 2) (z^{2} + 2 z + 4)}{z^{3} + 2^{3}} \cdot \frac{z^{2} - 2 z + 4}{z^{2} - 4}$

Schritt 3.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = z$ und $b = 2$ .

$\frac{(z - 2) (z^{2} + 2 z + 4)}{(z + 2) (z^{2} - z \cdot 2 + 2^{2})} \cdot \frac{z^{2} - 2 z + 4}{z^{2} - 4}$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{(z - 2) (z^{2} + 2 z + 4)}{(z + 2) (z^{2} - 2 z + 2^{2})} \cdot \frac{z^{2} - 2 z + 4}{z^{2} - 4}$

Schritt 3.3.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{(z - 2) (z^{2} + 2 z + 4)}{(z + 2) (z^{2} - 2 z + 4)} \cdot \frac{z^{2} - 2 z + 4}{z^{2} - 4}$

Schritt 4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $z^{2} - 2 z + 4$ .

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $z^{2} - 2 z + 4$ aus $(z + 2) (z^{2} - 2 z + 4)$ heraus.

$\frac{(z - 2) (z^{2} + 2 z + 4)}{(z^{2} - 2 z + 4) (z + 2)} \cdot \frac{z^{2} - 2 z + 4}{z^{2} - 4}$

Schritt 4.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(z - 2) (z^{2} + 2 z + 4)}{(z^{2} - 2 z + 4) (z + 2)} \cdot \frac{z^{2} - 2 z + 4}{z^{2} - 4}$

Schritt 4.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(z - 2) (z^{2} + 2 z + 4)}{z + 2} \cdot \frac{1}{z^{2} - 4}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{(z - 2) (z^{2} + 2 z + 4)}{z + 2}$ mit $\frac{1}{z^{2} - 4}$ .

$\frac{(z - 2) (z^{2} + 2 z + 4)}{(z + 2) (z^{2} - 4)}$

Schritt 5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{(z - 2) (z^{2} + 2 z + 4)}{(z + 2) (z^{2} - 2^{2})}$

Schritt 5.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = z$ und $b = 2$ .

$\frac{(z - 2) (z^{2} + 2 z + 4)}{(z + 2) (z + 2) (z - 2)}$

Schritt 5.3

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 5.3.1

Potenziere $z + 2$ mit $1$ .

$\frac{(z - 2) (z^{2} + 2 z + 4)}{{(z + 2)}^{1} (z + 2) (z - 2)}$

Schritt 5.3.2

Potenziere $z + 2$ mit $1$ .

$\frac{(z - 2) (z^{2} + 2 z + 4)}{{(z + 2)}^{1} {(z + 2)}^{1} (z - 2)}$

Schritt 5.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{(z - 2) (z^{2} + 2 z + 4)}{{(z + 2)}^{1 + 1} (z - 2)}$

Schritt 5.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{(z - 2) (z^{2} + 2 z + 4)}{{(z + 2)}^{2} (z - 2)}$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $z - 2$ .

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(z - 2) (z^{2} + 2 z + 4)}{{(z + 2)}^{2} (z - 2)}$

Schritt 6.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{z^{2} + 2 z + 4}{{(z + 2)}^{2}}$