Grundlegende Mathematik Beispiele

$\frac{z^{3} - 1}{2 z^{2} - z - 1} \div \frac{z^{2} + z + 1}{2 z^{2} + 9 z + 4}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{z^{3} - 1}{2 z^{2} - z - 1} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

Schritt 2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$\frac{z^{3} - 1^{3}}{2 z^{2} - z - 1} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

Schritt 2.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = z$ und $b = 1$ .

$\frac{(z - 1) (z^{2} + z \cdot 1 + 1^{2})}{2 z^{2} - z - 1} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $z$ mit $1$ .

$\frac{(z - 1) (z^{2} + z + 1^{2})}{2 z^{2} - z - 1} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

Schritt 2.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{(z - 1) (z^{2} + z + 1)}{2 z^{2} - z - 1} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

Schritt 3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ und deren Summe gleich $b = - 1$ ist.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- z$ heraus.

$\frac{(z - 1) (z^{2} + z + 1)}{2 z^{2} - (z) - 1} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

Schritt 3.1.2

Schreibe $- 1$ um als $1$ plus $- 2$

$\frac{(z - 1) (z^{2} + z + 1)}{2 z^{2} + (1 - 2) z - 1} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

Schritt 3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(z - 1) (z^{2} + z + 1)}{2 z^{2} + 1 z - 2 z - 1} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

Schritt 3.1.4

Mutltipliziere $z$ mit $1$ .

$\frac{(z - 1) (z^{2} + z + 1)}{2 z^{2} + z - 2 z - 1} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

Schritt 3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(z - 1) (z^{2} + z + 1)}{(2 z^{2} + z) - 2 z - 1} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

Schritt 3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{(z - 1) (z^{2} + z + 1)}{z (2 z + 1) - (2 z + 1)} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

Schritt 3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 z + 1$ .

$\frac{(z - 1) (z^{2} + z + 1)}{(2 z + 1) (z - 1)} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $z^{2} + z + 1$ .

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Schritt 4.1

Faktorisiere $z^{2} + z + 1$ aus $(z - 1) (z^{2} + z + 1)$ heraus.

$\frac{(z^{2} + z + 1) (z - 1)}{(2 z + 1) (z - 1)} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(z^{2} + z + 1) (z - 1)}{(2 z + 1) (z - 1)} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

Schritt 4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{z - 1}{(2 z + 1) (z - 1)} (2 z^{2} + 9 z + 4)$

Schritt 5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $z - 1$ .

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Schritt 5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{z - 1}{(2 z + 1) (z - 1)} (2 z^{2} + 9 z + 4)$

Schritt 5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2 z + 1} (2 z^{2} + 9 z + 4)$

Schritt 6

Mutltipliziere $\frac{1}{2 z + 1}$ mit $2 z^{2} + 9 z + 4$ .

$\frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{2 z + 1}$

Schritt 7

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 7.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot 4 = 8$ und deren Summe gleich $b = 9$ ist.

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Schritt 7.1.1

Faktorisiere $9$ aus $9 z$ heraus.

$\frac{2 z^{2} + 9 (z) + 4}{2 z + 1}$

Schritt 7.1.2

Schreibe $9$ um als $1$ plus $8$

$\frac{2 z^{2} + (1 + 8) z + 4}{2 z + 1}$

Schritt 7.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 z^{2} + 1 z + 8 z + 4}{2 z + 1}$

Schritt 7.1.4

Mutltipliziere $z$ mit $1$ .

$\frac{2 z^{2} + z + 8 z + 4}{2 z + 1}$

Schritt 7.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 7.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(2 z^{2} + z) + 8 z + 4}{2 z + 1}$

Schritt 7.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{z (2 z + 1) + 4 (2 z + 1)}{2 z + 1}$

Schritt 7.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 z + 1$ .

$\frac{(2 z + 1) (z + 4)}{2 z + 1}$

Schritt 8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 z + 1$ .

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Schritt 8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(2 z + 1) (z + 4)}{2 z + 1}$

Schritt 8.2

Dividiere $z + 4$ durch $1$ .

$z + 4$