Grundlegende Mathematik Beispiele

$\frac{z^{2} + z}{2 z + 2} \cdot \frac{3 z^{2} + 23 z + 40}{z^{2} + 6 z + 5}$

Schritt 1

Faktorisiere $z$ aus $z^{2} + z$ heraus.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $z$ aus $z^{2}$ heraus.

$\frac{z \cdot z + z}{2 z + 2} \cdot \frac{3 z^{2} + 23 z + 40}{z^{2} + 6 z + 5}$

Schritt 1.2

Potenziere $z$ mit $1$ .

$\frac{z \cdot z + z^{1}}{2 z + 2} \cdot \frac{3 z^{2} + 23 z + 40}{z^{2} + 6 z + 5}$

Schritt 1.3

Faktorisiere $z$ aus $z^{1}$ heraus.

$\frac{z \cdot z + z \cdot 1}{2 z + 2} \cdot \frac{3 z^{2} + 23 z + 40}{z^{2} + 6 z + 5}$

Schritt 1.4

Faktorisiere $z$ aus $z \cdot z + z \cdot 1$ heraus.

$\frac{z (z + 1)}{2 z + 2} \cdot \frac{3 z^{2} + 23 z + 40}{z^{2} + 6 z + 5}$

Schritt 2

Faktorisiere $2$ aus $2 z + 2$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 z$ heraus.

$\frac{z (z + 1)}{2 (z) + 2} \cdot \frac{3 z^{2} + 23 z + 40}{z^{2} + 6 z + 5}$

Schritt 2.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{z (z + 1)}{2 (z) + 2 (1)} \cdot \frac{3 z^{2} + 23 z + 40}{z^{2} + 6 z + 5}$

Schritt 2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (z) + 2 (1)$ heraus.

$\frac{z (z + 1)}{2 (z + 1)} \cdot \frac{3 z^{2} + 23 z + 40}{z^{2} + 6 z + 5}$

Schritt 3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot 40 = 120$ und deren Summe gleich $b = 23$ ist.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $23$ aus $23 z$ heraus.

$\frac{z (z + 1)}{2 (z + 1)} \cdot \frac{3 z^{2} + 23 (z) + 40}{z^{2} + 6 z + 5}$

Schritt 3.1.2

Schreibe $23$ um als $8$ plus $15$

$\frac{z (z + 1)}{2 (z + 1)} \cdot \frac{3 z^{2} + (8 + 15) z + 40}{z^{2} + 6 z + 5}$

Schritt 3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{z (z + 1)}{2 (z + 1)} \cdot \frac{3 z^{2} + 8 z + 15 z + 40}{z^{2} + 6 z + 5}$

Schritt 3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{z (z + 1)}{2 (z + 1)} \cdot \frac{(3 z^{2} + 8 z) + 15 z + 40}{z^{2} + 6 z + 5}$

Schritt 3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{z (z + 1)}{2 (z + 1)} \cdot \frac{z (3 z + 8) + 5 (3 z + 8)}{z^{2} + 6 z + 5}$

Schritt 3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 z + 8$ .

$\frac{z (z + 1)}{2 (z + 1)} \cdot \frac{(3 z + 8) (z + 5)}{z^{2} + 6 z + 5}$

Schritt 4

Faktorisiere $z^{2} + 6 z + 5$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $5$ und deren Summe $6$ ist.

$1, 5$

Schritt 4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{z (z + 1)}{2 (z + 1)} \cdot \frac{(3 z + 8) (z + 5)}{(z + 1) (z + 5)}$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $z + 1$ .

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $z + 1$ aus $z (z + 1)$ heraus.

$\frac{(z + 1) z}{2 (z + 1)} \cdot \frac{(3 z + 8) (z + 5)}{(z + 1) (z + 5)}$

Schritt 5.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(z + 1) z}{2 (z + 1)} \cdot \frac{(3 z + 8) (z + 5)}{(z + 1) (z + 5)}$

Schritt 5.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{z}{2 (z + 1)} \cdot \frac{(3 z + 8) (z + 5)}{z + 5}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $\frac{z}{2 (z + 1)}$ mit $\frac{(3 z + 8) (z + 5)}{z + 5}$ .

$\frac{z ((3 z + 8) (z + 5))}{2 (z + 1) (z + 5)}$

Schritt 5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $z + 5$ .

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Schritt 5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{z ((3 z + 8) (z + 5))}{2 (z + 1) (z + 5)}$

Schritt 5.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{z (3 z + 8)}{2 (z + 1)}$