Grundlegende Mathematik Beispiele

$\frac{n^{2} - m^{2}}{2 m - 3 n} \div \frac{m - n}{4 m^{2} - 9 n^{2}}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{n^{2} - m^{2}}{2 m - 3 n} \cdot \frac{4 m^{2} - 9 n^{2}}{m - n}$

Schritt 2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = n$ und $b = m$ .

$\frac{(n + m) (n - m)}{2 m - 3 n} \cdot \frac{4 m^{2} - 9 n^{2}}{m - n}$

Schritt 3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1

Schreibe $4 m^{2}$ als ${(2 m)}^{2}$ um.

$\frac{(n + m) (n - m)}{2 m - 3 n} \cdot \frac{{(2 m)}^{2} - 9 n^{2}}{m - n}$

Schritt 3.2

Schreibe $9 n^{2}$ als ${(3 n)}^{2}$ um.

$\frac{(n + m) (n - m)}{2 m - 3 n} \cdot \frac{{(2 m)}^{2} - {(3 n)}^{2}}{m - n}$

Schritt 3.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2 m$ und $b = 3 n$ .

$\frac{(n + m) (n - m)}{2 m - 3 n} \cdot \frac{(2 m + 3 n) (2 m - (3 n))}{m - n}$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{(n + m) (n - m)}{2 m - 3 n} \cdot \frac{(2 m + 3 n) (2 m - 3 n)}{m - n}$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 m - 3 n$ .

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Schritt 4.1

Faktorisiere $2 m - 3 n$ aus $(2 m + 3 n) (2 m - 3 n)$ heraus.

$\frac{(n + m) (n - m)}{2 m - 3 n} \cdot \frac{(2 m - 3 n) (2 m + 3 n)}{m - n}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(n + m) (n - m)}{2 m - 3 n} \cdot \frac{(2 m - 3 n) (2 m + 3 n)}{m - n}$

Schritt 4.3

Forme den Ausdruck um.

$(n + m) (n - m) \frac{2 m + 3 n}{m - n}$

Schritt 5

Multipliziere $(n + m) (n - m)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(n (n - m) + m (n - m)) \frac{2 m + 3 n}{m - n}$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(n \cdot n + n (- m) + m (n - m)) \frac{2 m + 3 n}{m - n}$

Schritt 5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(n \cdot n + n (- m) + m n + m (- m)) \frac{2 m + 3 n}{m - n}$

Schritt 6

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $n \cdot n + n (- m) + m n + m (- m)$ .

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Schritt 6.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen $n (- m)$ und $m n$ neu an.

$(n \cdot n - m n + m n + m (- m)) \frac{2 m + 3 n}{m - n}$

Schritt 6.1.2

Addiere $- m n$ und $m n$ .

$(n \cdot n + 0 + m (- m)) \frac{2 m + 3 n}{m - n}$

Schritt 6.1.3

Addiere $n \cdot n$ und $0$ .

$(n \cdot n + m (- m)) \frac{2 m + 3 n}{m - n}$

Schritt 6.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $n$ mit $n$ .

$(n^{2} + m (- m)) \frac{2 m + 3 n}{m - n}$

Schritt 6.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(n^{2} - m \cdot m) \frac{2 m + 3 n}{m - n}$

Schritt 6.2.3

Multipliziere $m$ mit $m$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.2.3.1

Bewege $m$ .

$(n^{2} - (m \cdot m)) \frac{2 m + 3 n}{m - n}$

Schritt 6.2.3.2

Mutltipliziere $m$ mit $m$ .

$(n^{2} - m^{2}) \frac{2 m + 3 n}{m - n}$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $n^{2} - m^{2}$ mit $\frac{2 m + 3 n}{m - n}$ .

$\frac{(n^{2} - m^{2}) (2 m + 3 n)}{m - n}$

Schritt 7

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = n$ und $b = m$ .

$\frac{(n + m) (n - m) (2 m + 3 n)}{m - n}$

Schritt 8

Vereinfache Terme.

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Schritt 8.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $n - m$ und $m - n$ .

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Schritt 8.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $n$ heraus.

$\frac{(n + m) (- 1 (- n) - m) (2 m + 3 n)}{m - n}$

Schritt 8.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- m$ heraus.

$\frac{(n + m) (- 1 (- n) - (m)) (2 m + 3 n)}{m - n}$

Schritt 8.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- n) - (m)$ heraus.

$\frac{(n + m) (- 1 (- n + m)) (2 m + 3 n)}{m - n}$

Schritt 8.1.4

Stelle die Terme um.

$\frac{(n + m) (- 1 (m - n)) (2 m + 3 n)}{m - n}$

Schritt 8.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(n + m) (- 1 (m - n)) (2 m + 3 n)}{m - n}$

Schritt 8.1.6

Dividiere $((n + m) \cdot (- 1)) (2 m + 3 n)$ durch $1$ .

$((n + m) \cdot (- 1)) (2 m + 3 n)$

Schritt 8.2

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 8.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(n \cdot - 1 + m \cdot - 1) (2 m + 3 n)$

Schritt 8.2.2

Stelle um.

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Schritt 8.2.2.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $n$ .

$(- 1 \cdot n + m \cdot - 1) (2 m + 3 n)$

Schritt 8.2.2.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $m$ .

$(- 1 \cdot n - 1 \cdot m) (2 m + 3 n)$

Schritt 8.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.3.1

Schreibe $- 1 n$ als $- n$ um.

$(- n - 1 \cdot m) (2 m + 3 n)$

Schritt 8.3.2

Schreibe $- 1 m$ als $- m$ um.

$(- n - m) (2 m + 3 n)$

Schritt 9

Multipliziere $(- n - m) (2 m + 3 n)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- n (2 m + 3 n) - m (2 m + 3 n)$

Schritt 9.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- n (2 m) - n (3 n) - m (2 m + 3 n)$

Schritt 9.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- n (2 m) - n (3 n) - m (2 m) - m (3 n)$

Schritt 10

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 10.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 1 \cdot 2 n m - n (3 n) - m (2 m) - m (3 n)$

Schritt 10.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 n m - n (3 n) - m (2 m) - m (3 n)$

Schritt 10.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 2 n m - 1 \cdot 3 n \cdot n - m (2 m) - m (3 n)$

Schritt 10.1.4

Multipliziere $n$ mit $n$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 10.1.4.1

Bewege $n$ .

$- 2 n m - 1 \cdot 3 (n \cdot n) - m (2 m) - m (3 n)$

Schritt 10.1.4.2

Mutltipliziere $n$ mit $n$ .

$- 2 n m - 1 \cdot 3 n^{2} - m (2 m) - m (3 n)$

Schritt 10.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 2 n m - 3 n^{2} - m (2 m) - m (3 n)$

Schritt 10.1.6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 2 n m - 3 n^{2} - 1 \cdot 2 m \cdot m - m (3 n)$

Schritt 10.1.7

Multipliziere $m$ mit $m$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 10.1.7.1

Bewege $m$ .

$- 2 n m - 3 n^{2} - 1 \cdot 2 (m \cdot m) - m (3 n)$

Schritt 10.1.7.2

Mutltipliziere $m$ mit $m$ .

$- 2 n m - 3 n^{2} - 1 \cdot 2 m^{2} - m (3 n)$

Schritt 10.1.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 n m - 3 n^{2} - 2 m^{2} - m (3 n)$

Schritt 10.1.9

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 2 n m - 3 n^{2} - 2 m^{2} - 1 \cdot 3 m n$

Schritt 10.1.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 2 n m - 3 n^{2} - 2 m^{2} - 3 m n$

Schritt 10.2

Subtrahiere $3 m n$ von $- 2 n m$ .

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Schritt 10.2.1

Bewege $n$ .

$- 3 n^{2} - 2 m^{2} - 2 m n - 3 m n$

Schritt 10.2.2

Subtrahiere $3 m n$ von $- 2 m n$ .

$- 3 n^{2} - 2 m^{2} - 5 m n$

Schritt 11

Bewege $- 3 n^{2}$ .

$- 2 m^{2} - 5 m n - 3 n^{2}$