Grundlegende Mathematik Beispiele

$\frac{k^{2}}{(k + 1) (k - 1)} - \frac{2 k^{2} - k - 3}{(k + 1) (k + 2)}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ und deren Summe gleich $b = - 1$ ist.

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Schritt 1.1.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- k$ heraus.

$\frac{k^{2}}{(k + 1) (k - 1)} - \frac{2 k^{2} - (k) - 3}{(k + 1) (k + 2)}$

Schritt 1.1.1.2

Schreibe $- 1$ um als $2$ plus $- 3$

$\frac{k^{2}}{(k + 1) (k - 1)} - \frac{2 k^{2} + (2 - 3) k - 3}{(k + 1) (k + 2)}$

Schritt 1.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{k^{2}}{(k + 1) (k - 1)} - \frac{2 k^{2} + 2 k - 3 k - 3}{(k + 1) (k + 2)}$

Schritt 1.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{k^{2}}{(k + 1) (k - 1)} - \frac{(2 k^{2} + 2 k) - 3 k - 3}{(k + 1) (k + 2)}$

Schritt 1.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{k^{2}}{(k + 1) (k - 1)} - \frac{2 k (k + 1) - 3 (k + 1)}{(k + 1) (k + 2)}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $k + 1$ .

$\frac{k^{2}}{(k + 1) (k - 1)} - \frac{(k + 1) (2 k - 3)}{(k + 1) (k + 2)}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $k + 1$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{k^{2}}{(k + 1) (k - 1)} - \frac{(k + 1) (2 k - 3)}{(k + 1) (k + 2)}$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{k^{2}}{(k + 1) (k - 1)} - \frac{2 k - 3}{k + 2}$

Schritt 2

Um $\frac{k^{2}}{(k + 1) (k - 1)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{k + 2}{k + 2}$ .

$\frac{k^{2}}{(k + 1) (k - 1)} \cdot \frac{k + 2}{k + 2} - \frac{2 k - 3}{k + 2}$

Schritt 3

Um $- \frac{2 k - 3}{k + 2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{(k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (k - 1)}$ .

$\frac{k^{2}}{(k + 1) (k - 1)} \cdot \frac{k + 2}{k + 2} - \frac{2 k - 3}{k + 2} \cdot \frac{(k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (k - 1)}$

Schritt 4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(k + 1) (k - 1) (k + 2)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{k^{2}}{(k + 1) (k - 1)}$ mit $\frac{k + 2}{k + 2}$ .

$\frac{k^{2} (k + 2)}{(k + 1) (k - 1) (k + 2)} - \frac{2 k - 3}{k + 2} \cdot \frac{(k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (k - 1)}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{2 k - 3}{k + 2}$ mit $\frac{(k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (k - 1)}$ .

$\frac{k^{2} (k + 2)}{(k + 1) (k - 1) (k + 2)} - \frac{(2 k - 3) ((k + 1) (k - 1))}{(k + 2) ((k + 1) (k - 1))}$

Schritt 4.3

Stelle die Faktoren von $(k + 1) (k - 1) (k + 2)$ um.

$\frac{k^{2} (k + 2)}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)} - \frac{(2 k - 3) ((k + 1) (k - 1))}{(k + 2) ((k + 1) (k - 1))}$

Schritt 4.4

Stelle die Faktoren von $(k + 2) ((k + 1) (k - 1))$ um.

$\frac{k^{2} (k + 2)}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)} - \frac{(2 k - 3) ((k + 1) (k - 1))}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{k^{2} (k + 2) - (2 k - 3) ((k + 1) (k - 1))}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{k^{2} k + k^{2} \cdot 2 - (2 k - 3) ((k + 1) (k - 1))}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Schritt 6.2

Multipliziere $k^{2}$ mit $k$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $k^{2}$ mit $k$ .

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $k$ mit $1$ .

$\frac{k^{2} k^{1} + k^{2} \cdot 2 - (2 k - 3) ((k + 1) (k - 1))}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Schritt 6.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{k^{2 + 1} + k^{2} \cdot 2 - (2 k - 3) ((k + 1) (k - 1))}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Schritt 6.2.2

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{k^{3} + k^{2} \cdot 2 - (2 k - 3) ((k + 1) (k - 1))}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Schritt 6.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $k^{2}$ .

$\frac{k^{3} + 2 \cdot k^{2} - (2 k - 3) ((k + 1) (k - 1))}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Schritt 6.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} + (- (2 k) - - 3) ((k + 1) (k - 1))}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Schritt 6.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} + (- 2 k - - 3) ((k + 1) (k - 1))}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Schritt 6.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} + (- 2 k + 3) ((k + 1) (k - 1))}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Schritt 6.7

Multipliziere $(k + 1) (k - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} + (- 2 k + 3) (k (k - 1) + 1 (k - 1))}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Schritt 6.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} + (- 2 k + 3) (k \cdot k + k \cdot - 1 + 1 (k - 1))}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Schritt 6.7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} + (- 2 k + 3) (k \cdot k + k \cdot - 1 + 1 k + 1 \cdot - 1)}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Schritt 6.8

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.8.1.1

Mutltipliziere $k$ mit $k$ .

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} + (- 2 k + 3) (k^{2} + k \cdot - 1 + 1 k + 1 \cdot - 1)}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Schritt 6.8.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $k$ .

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} + (- 2 k + 3) (k^{2} - 1 \cdot k + 1 k + 1 \cdot - 1)}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Schritt 6.8.1.3

Schreibe $- 1 k$ als $- k$ um.

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} + (- 2 k + 3) (k^{2} - k + 1 k + 1 \cdot - 1)}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Schritt 6.8.1.4

Mutltipliziere $k$ mit $1$ .

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} + (- 2 k + 3) (k^{2} - k + k + 1 \cdot - 1)}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Schritt 6.8.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} + (- 2 k + 3) (k^{2} - k + k - 1)}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Schritt 6.8.2

Addiere $- k$ und $k$ .

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} + (- 2 k + 3) (k^{2} + 0 - 1)}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Schritt 6.8.3

Addiere $k^{2}$ und $0$ .

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} + (- 2 k + 3) (k^{2} - 1)}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Schritt 6.9

Multipliziere $(- 2 k + 3) (k^{2} - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} - 2 k (k^{2} - 1) + 3 (k^{2} - 1)}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Schritt 6.9.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} - 2 k \cdot k^{2} - 2 k \cdot - 1 + 3 (k^{2} - 1)}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Schritt 6.9.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} - 2 k \cdot k^{2} - 2 k \cdot - 1 + 3 k^{2} + 3 \cdot - 1}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Schritt 6.10

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.10.1

Multipliziere $k$ mit $k^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.10.1.1

Bewege $k^{2}$ .

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} - 2 (k^{2} k) - 2 k \cdot - 1 + 3 k^{2} + 3 \cdot - 1}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Schritt 6.10.1.2

Mutltipliziere $k^{2}$ mit $k$ .

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Schritt 6.10.1.2.1

Potenziere $k$ mit $1$ .

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} - 2 (k^{2} k^{1}) - 2 k \cdot - 1 + 3 k^{2} + 3 \cdot - 1}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Schritt 6.10.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} - 2 k^{2 + 1} - 2 k \cdot - 1 + 3 k^{2} + 3 \cdot - 1}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Schritt 6.10.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} - 2 k^{3} - 2 k \cdot - 1 + 3 k^{2} + 3 \cdot - 1}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Schritt 6.10.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} - 2 k^{3} + 2 k + 3 k^{2} + 3 \cdot - 1}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Schritt 6.10.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{k^{3} + 2 k^{2} - 2 k^{3} + 2 k + 3 k^{2} - 3}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Schritt 6.11

Subtrahiere $2 k^{3}$ von $k^{3}$ .

$\frac{- k^{3} + 2 k^{2} + 2 k + 3 k^{2} - 3}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Schritt 6.12

Addiere $2 k^{2}$ und $3 k^{2}$ .

$\frac{- k^{3} + 5 k^{2} + 2 k - 3}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Schritt 7

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- k^{3}$ heraus.

$\frac{- (k^{3}) + 5 k^{2} + 2 k - 3}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Schritt 7.2

Faktorisiere $- 1$ aus $5 k^{2}$ heraus.

$\frac{- (k^{3}) - (- 5 k^{2}) + 2 k - 3}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Schritt 7.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (k^{3}) - (- 5 k^{2})$ heraus.

$\frac{- (k^{3} - 5 k^{2}) + 2 k - 3}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Schritt 7.4

Faktorisiere $- 1$ aus $2 k$ heraus.

$\frac{- (k^{3} - 5 k^{2}) - (- 2 k) - 3}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Schritt 7.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (k^{3} - 5 k^{2}) - (- 2 k)$ heraus.

$\frac{- (k^{3} - 5 k^{2} - 2 k) - 3}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Schritt 7.6

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$\frac{- (k^{3} - 5 k^{2} - 2 k) - 1 (3)}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Schritt 7.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (k^{3} - 5 k^{2} - 2 k) - 1 (3)$ heraus.

$\frac{- (k^{3} - 5 k^{2} - 2 k + 3)}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Schritt 7.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.8.1

Schreibe $- (k^{3} - 5 k^{2} - 2 k + 3)$ als $- 1 (k^{3} - 5 k^{2} - 2 k + 3)$ um.

$\frac{- 1 (k^{3} - 5 k^{2} - 2 k + 3)}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$

Schritt 7.8.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{k^{3} - 5 k^{2} - 2 k + 3}{(k + 1) (k + 2) (k - 1)}$