Grundlegende Mathematik Beispiele

$\frac{q^{2} + 2 q r - 3 r^{2}}{q^{2} - 6 q r + 5 r^{2}} \div \frac{q^{2} + 4 q r + 3 r^{2}}{q^{2} + 4 q r - 45 r^{2}}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{q^{2} + 2 q r - 3 r^{2}}{q^{2} - 6 q r + 5 r^{2}} \cdot \frac{q^{2} + 4 q r - 45 r^{2}}{q^{2} + 4 q r + 3 r^{2}}$

Schritt 2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 1 \cdot - 3 = - 3$ und deren Summe gleich $b = 2$ ist.

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Schritt 2.1.1.1

Stelle die Terme um.

$\frac{q^{2} - 3 r^{2} + 2 q r}{q^{2} - 6 q r + 5 r^{2}} \cdot \frac{q^{2} + 4 q r - 45 r^{2}}{q^{2} + 4 q r + 3 r^{2}}$

Schritt 2.1.1.2

Stelle $- 3 r^{2}$ und $2 q r$ um.

$\frac{q^{2} + 2 q r - 3 r^{2}}{q^{2} - 6 q r + 5 r^{2}} \cdot \frac{q^{2} + 4 q r - 45 r^{2}}{q^{2} + 4 q r + 3 r^{2}}$

Schritt 2.1.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 q r$ heraus.

$\frac{q^{2} + 2 (q r) - 3 r^{2}}{q^{2} - 6 q r + 5 r^{2}} \cdot \frac{q^{2} + 4 q r - 45 r^{2}}{q^{2} + 4 q r + 3 r^{2}}$

Schritt 2.1.1.4

Schreibe $2$ um als $- 1$ plus $3$

$\frac{q^{2} + (- 1 + 3) (q r) - 3 r^{2}}{q^{2} - 6 q r + 5 r^{2}} \cdot \frac{q^{2} + 4 q r - 45 r^{2}}{q^{2} + 4 q r + 3 r^{2}}$

Schritt 2.1.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{q^{2} - 1 (q r) + 3 (q r) - 3 r^{2}}{q^{2} - 6 q r + 5 r^{2}} \cdot \frac{q^{2} + 4 q r - 45 r^{2}}{q^{2} + 4 q r + 3 r^{2}}$

Schritt 2.1.1.6

Versetze die Klammern.

$\frac{q^{2} - 1 q r + 3 q r - 3 r^{2}}{q^{2} - 6 q r + 5 r^{2}} \cdot \frac{q^{2} + 4 q r - 45 r^{2}}{q^{2} + 4 q r + 3 r^{2}}$

Schritt 2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(q^{2} - 1 q r) + 3 q r - 3 r^{2}}{q^{2} - 6 q r + 5 r^{2}} \cdot \frac{q^{2} + 4 q r - 45 r^{2}}{q^{2} + 4 q r + 3 r^{2}}$

Schritt 2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{q (q - 1 r) + 3 r (q - r)}{q^{2} - 6 q r + 5 r^{2}} \cdot \frac{q^{2} + 4 q r - 45 r^{2}}{q^{2} + 4 q r + 3 r^{2}}$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $q - 1 r$ .

$\frac{(q - 1 r) (q + 3 r)}{q^{2} - 6 q r + 5 r^{2}} \cdot \frac{q^{2} + 4 q r - 45 r^{2}}{q^{2} + 4 q r + 3 r^{2}}$

Schritt 2.2

Schreibe $- 1 r$ als $- r$ um.

$\frac{(q - r) (q + 3 r)}{q^{2} - 6 q r + 5 r^{2}} \cdot \frac{q^{2} + 4 q r - 45 r^{2}}{q^{2} + 4 q r + 3 r^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 1 \cdot 5 = 5$ und deren Summe gleich $b = - 6$ ist.

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Schritt 3.1.1.1

Stelle die Terme um.

$\frac{(q - r) (q + 3 r)}{q^{2} + 5 r^{2} - 6 q r} \cdot \frac{q^{2} + 4 q r - 45 r^{2}}{q^{2} + 4 q r + 3 r^{2}}$

Schritt 3.1.1.2

Stelle $5 r^{2}$ und $- 6 q r$ um.

$\frac{(q - r) (q + 3 r)}{q^{2} - 6 q r + 5 r^{2}} \cdot \frac{q^{2} + 4 q r - 45 r^{2}}{q^{2} + 4 q r + 3 r^{2}}$

Schritt 3.1.1.3

Faktorisiere $- 6$ aus $- 6 q r$ heraus.

$\frac{(q - r) (q + 3 r)}{q^{2} - 6 (q r) + 5 r^{2}} \cdot \frac{q^{2} + 4 q r - 45 r^{2}}{q^{2} + 4 q r + 3 r^{2}}$

Schritt 3.1.1.4

Schreibe $- 6$ um als $- 1$ plus $- 5$

$\frac{(q - r) (q + 3 r)}{q^{2} + (- 1 - 5) (q r) + 5 r^{2}} \cdot \frac{q^{2} + 4 q r - 45 r^{2}}{q^{2} + 4 q r + 3 r^{2}}$

Schritt 3.1.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(q - r) (q + 3 r)}{q^{2} - 1 (q r) - 5 (q r) + 5 r^{2}} \cdot \frac{q^{2} + 4 q r - 45 r^{2}}{q^{2} + 4 q r + 3 r^{2}}$

Schritt 3.1.1.6

Versetze die Klammern.

$\frac{(q - r) (q + 3 r)}{q^{2} - 1 q r - 5 q r + 5 r^{2}} \cdot \frac{q^{2} + 4 q r - 45 r^{2}}{q^{2} + 4 q r + 3 r^{2}}$

Schritt 3.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(q - r) (q + 3 r)}{(q^{2} - 1 q r) - 5 q r + 5 r^{2}} \cdot \frac{q^{2} + 4 q r - 45 r^{2}}{q^{2} + 4 q r + 3 r^{2}}$

Schritt 3.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{(q - r) (q + 3 r)}{q (q - 1 r) - 5 r (q - r)} \cdot \frac{q^{2} + 4 q r - 45 r^{2}}{q^{2} + 4 q r + 3 r^{2}}$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $q - 1 r$ .

$\frac{(q - r) (q + 3 r)}{(q - 1 r) (q - 5 r)} \cdot \frac{q^{2} + 4 q r - 45 r^{2}}{q^{2} + 4 q r + 3 r^{2}}$

Schritt 3.2

Schreibe $- 1 r$ als $- r$ um.

$\frac{(q - r) (q + 3 r)}{(q - r) (q - 5 r)} \cdot \frac{q^{2} + 4 q r - 45 r^{2}}{q^{2} + 4 q r + 3 r^{2}}$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $q - r$ .

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(q - r) (q + 3 r)}{(q - r) (q - 5 r)} \cdot \frac{q^{2} + 4 q r - 45 r^{2}}{q^{2} + 4 q r + 3 r^{2}}$

Schritt 4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{q + 3 r}{q - 5 r} \cdot \frac{q^{2} + 4 q r - 45 r^{2}}{q^{2} + 4 q r + 3 r^{2}}$

Schritt 5

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 5.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 1 \cdot - 45 = - 45$ und deren Summe gleich $b = 4$ ist.

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Schritt 5.1.1

Stelle die Terme um.

$\frac{q + 3 r}{q - 5 r} \cdot \frac{q^{2} - 45 r^{2} + 4 q r}{q^{2} + 4 q r + 3 r^{2}}$

Schritt 5.1.2

Stelle $- 45 r^{2}$ und $4 q r$ um.

$\frac{q + 3 r}{q - 5 r} \cdot \frac{q^{2} + 4 q r - 45 r^{2}}{q^{2} + 4 q r + 3 r^{2}}$

Schritt 5.1.3

Faktorisiere $4$ aus $4 q r$ heraus.

$\frac{q + 3 r}{q - 5 r} \cdot \frac{q^{2} + 4 (q r) - 45 r^{2}}{q^{2} + 4 q r + 3 r^{2}}$

Schritt 5.1.4

Schreibe $4$ um als $- 5$ plus $9$

$\frac{q + 3 r}{q - 5 r} \cdot \frac{q^{2} + (- 5 + 9) (q r) - 45 r^{2}}{q^{2} + 4 q r + 3 r^{2}}$

Schritt 5.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{q + 3 r}{q - 5 r} \cdot \frac{q^{2} - 5 (q r) + 9 (q r) - 45 r^{2}}{q^{2} + 4 q r + 3 r^{2}}$

Schritt 5.1.6

Versetze die Klammern.

$\frac{q + 3 r}{q - 5 r} \cdot \frac{q^{2} - 5 q r + 9 q r - 45 r^{2}}{q^{2} + 4 q r + 3 r^{2}}$

Schritt 5.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 5.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{q + 3 r}{q - 5 r} \cdot \frac{(q^{2} - 5 q r) + 9 q r - 45 r^{2}}{q^{2} + 4 q r + 3 r^{2}}$

Schritt 5.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{q + 3 r}{q - 5 r} \cdot \frac{q (q - 5 r) + 9 r (q - 5 r)}{q^{2} + 4 q r + 3 r^{2}}$

Schritt 5.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $q - 5 r$ .

$\frac{q + 3 r}{q - 5 r} \cdot \frac{(q - 5 r) (q + 9 r)}{q^{2} + 4 q r + 3 r^{2}}$

Schritt 6

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 6.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 1 \cdot 3 = 3$ und deren Summe gleich $b = 4$ ist.

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Schritt 6.1.1

Stelle die Terme um.

$\frac{q + 3 r}{q - 5 r} \cdot \frac{(q - 5 r) (q + 9 r)}{q^{2} + 3 r^{2} + 4 q r}$

Schritt 6.1.2

Stelle $3 r^{2}$ und $4 q r$ um.

$\frac{q + 3 r}{q - 5 r} \cdot \frac{(q - 5 r) (q + 9 r)}{q^{2} + 4 q r + 3 r^{2}}$

Schritt 6.1.3

Faktorisiere $4$ aus $4 q r$ heraus.

$\frac{q + 3 r}{q - 5 r} \cdot \frac{(q - 5 r) (q + 9 r)}{q^{2} + 4 (q r) + 3 r^{2}}$

Schritt 6.1.4

Schreibe $4$ um als $1$ plus $3$

$\frac{q + 3 r}{q - 5 r} \cdot \frac{(q - 5 r) (q + 9 r)}{q^{2} + (1 + 3) (q r) + 3 r^{2}}$

Schritt 6.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{q + 3 r}{q - 5 r} \cdot \frac{(q - 5 r) (q + 9 r)}{q^{2} + 1 (q r) + 3 (q r) + 3 r^{2}}$

Schritt 6.1.6

Mutltipliziere $q r$ mit $1$ .

$\frac{q + 3 r}{q - 5 r} \cdot \frac{(q - 5 r) (q + 9 r)}{q^{2} + q r + 3 (q r) + 3 r^{2}}$

Schritt 6.1.7

Versetze die Klammern.

$\frac{q + 3 r}{q - 5 r} \cdot \frac{(q - 5 r) (q + 9 r)}{q^{2} + q r + 3 q r + 3 r^{2}}$

Schritt 6.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 6.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{q + 3 r}{q - 5 r} \cdot \frac{(q - 5 r) (q + 9 r)}{(q^{2} + q r) + 3 q r + 3 r^{2}}$

Schritt 6.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{q + 3 r}{q - 5 r} \cdot \frac{(q - 5 r) (q + 9 r)}{q (q + r) + 3 r (q + r)}$

Schritt 6.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $q + r$ .

$\frac{q + 3 r}{q - 5 r} \cdot \frac{(q - 5 r) (q + 9 r)}{(q + r) (q + 3 r)}$

Schritt 7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $q + 3 r$ .

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Schritt 7.1

Faktorisiere $q + 3 r$ aus $(q + r) (q + 3 r)$ heraus.

$\frac{q + 3 r}{q - 5 r} \cdot \frac{(q - 5 r) (q + 9 r)}{(q + 3 r) (q + r)}$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{q + 3 r}{q - 5 r} \cdot \frac{(q - 5 r) (q + 9 r)}{(q + 3 r) (q + r)}$

Schritt 7.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{q - 5 r} \cdot \frac{(q - 5 r) (q + 9 r)}{q + r}$

Schritt 8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $q - 5 r$ .

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Schritt 8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{q - 5 r} \cdot \frac{(q - 5 r) (q + 9 r)}{q + r}$

Schritt 8.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{q + 9 r}{q + r}$