Grundlegende Mathematik Beispiele

$\frac{u^{2} - y^{2}}{2 u^{2} + 2 u y + u + y} \cdot \frac{2 u^{2} - 11 u - 6}{y u - 6 y - u^{2} + 6 u}$

Schritt 1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = u$ und $b = y$ .

$\frac{(u + y) (u - y)}{2 u^{2} + 2 u y + u + y} \cdot \frac{2 u^{2} - 11 u - 6}{y u - 6 y - u^{2} + 6 u}$

Schritt 2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(u + y) (u - y)}{(2 u^{2} + 2 u y) + u + y} \cdot \frac{2 u^{2} - 11 u - 6}{y u - 6 y - u^{2} + 6 u}$

Schritt 2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{(u + y) (u - y)}{2 u (u + y) + 1 (u + y)} \cdot \frac{2 u^{2} - 11 u - 6}{y u - 6 y - u^{2} + 6 u}$

Schritt 2.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $u + y$ .

$\frac{(u + y) (u - y)}{(u + y) (2 u + 1)} \cdot \frac{2 u^{2} - 11 u - 6}{y u - 6 y - u^{2} + 6 u}$

Schritt 3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 6 = - 12$ und deren Summe gleich $b = - 11$ ist.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $- 11$ aus $- 11 u$ heraus.

$\frac{(u + y) (u - y)}{(u + y) (2 u + 1)} \cdot \frac{2 u^{2} - 11 (u) - 6}{y u - 6 y - u^{2} + 6 u}$

Schritt 3.1.2

Schreibe $- 11$ um als $1$ plus $- 12$

$\frac{(u + y) (u - y)}{(u + y) (2 u + 1)} \cdot \frac{2 u^{2} + (1 - 12) u - 6}{y u - 6 y - u^{2} + 6 u}$

Schritt 3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(u + y) (u - y)}{(u + y) (2 u + 1)} \cdot \frac{2 u^{2} + 1 u - 12 u - 6}{y u - 6 y - u^{2} + 6 u}$

Schritt 3.1.4

Mutltipliziere $u$ mit $1$ .

$\frac{(u + y) (u - y)}{(u + y) (2 u + 1)} \cdot \frac{2 u^{2} + u - 12 u - 6}{y u - 6 y - u^{2} + 6 u}$

Schritt 3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(u + y) (u - y)}{(u + y) (2 u + 1)} \cdot \frac{(2 u^{2} + u) - 12 u - 6}{y u - 6 y - u^{2} + 6 u}$

Schritt 3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{(u + y) (u - y)}{(u + y) (2 u + 1)} \cdot \frac{u (2 u + 1) - 6 (2 u + 1)}{y u - 6 y - u^{2} + 6 u}$

Schritt 3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 u + 1$ .

$\frac{(u + y) (u - y)}{(u + y) (2 u + 1)} \cdot \frac{(2 u + 1) (u - 6)}{y u - 6 y - u^{2} + 6 u}$

Schritt 4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(u + y) (u - y)}{(u + y) (2 u + 1)} \cdot \frac{(2 u + 1) (u - 6)}{(y u - 6 y) - u^{2} + 6 u}$

Schritt 4.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{(u + y) (u - y)}{(u + y) (2 u + 1)} \cdot \frac{(2 u + 1) (u - 6)}{y (u - 6) - u (u - 6)}$

Schritt 4.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $u - 6$ .

$\frac{(u + y) (u - y)}{(u + y) (2 u + 1)} \cdot \frac{(2 u + 1) (u - 6)}{(u - 6) (y - u)}$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 u + 1$ .

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $2 u + 1$ aus $(u + y) (2 u + 1)$ heraus.

$\frac{(u + y) (u - y)}{(2 u + 1) (u + y)} \cdot \frac{(2 u + 1) (u - 6)}{(u - 6) (y - u)}$

Schritt 5.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(u + y) (u - y)}{(2 u + 1) (u + y)} \cdot \frac{(2 u + 1) (u - 6)}{(u - 6) (y - u)}$

Schritt 5.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(u + y) (u - y)}{u + y} \cdot \frac{u - 6}{(u - 6) (y - u)}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $\frac{(u + y) (u - y)}{u + y}$ mit $\frac{u - 6}{(u - 6) (y - u)}$ .

$\frac{(u + y) (u - y) (u - 6)}{(u + y) ((u - 6) (y - u))}$

Schritt 5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $u + y$ .

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Schritt 5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(u + y) (u - y) (u - 6)}{(u + y) ((u - 6) (y - u))}$

Schritt 5.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(u - y) (u - 6)}{(u - 6) (y - u)}$

Schritt 5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $u - 6$ .

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Schritt 5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(u - y) (u - 6)}{(u - 6) (y - u)}$

Schritt 5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{u - y}{y - u}$

Schritt 5.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $u - y$ und $y - u$ .

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Schritt 5.5.1

Faktorisiere $- 1$ aus $u$ heraus.

$\frac{- 1 (- u) - y}{y - u}$

Schritt 5.5.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- y$ heraus.

$\frac{- 1 (- u) - (y)}{y - u}$

Schritt 5.5.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- u) - (y)$ heraus.

$\frac{- 1 (- u + y)}{y - u}$

Schritt 5.5.4

Stelle die Terme um.

$\frac{- 1 (- u + y)}{- u + y}$

Schritt 5.5.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1 (- u + y)}{- u + y}$

Schritt 5.5.6

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- 1$