Grundlegende Mathematik Beispiele

$\frac{y^{3} - 8}{y^{2} + 6 y - 16} \cdot \frac{y^{2} + 8 y}{y^{3} + 2 y^{2} + 4 y}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$\frac{y^{3} - 2^{3}}{y^{2} + 6 y - 16} \cdot \frac{y^{2} + 8 y}{y^{3} + 2 y^{2} + 4 y}$

Schritt 1.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = y$ und $b = 2$ .

$\frac{(y - 2) (y^{2} + y \cdot 2 + 2^{2})}{y^{2} + 6 y - 16} \cdot \frac{y^{2} + 8 y}{y^{3} + 2 y^{2} + 4 y}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$\frac{(y - 2) (y^{2} + 2 \cdot y + 2^{2})}{y^{2} + 6 y - 16} \cdot \frac{y^{2} + 8 y}{y^{3} + 2 y^{2} + 4 y}$

Schritt 1.3.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{(y - 2) (y^{2} + 2 y + 4)}{y^{2} + 6 y - 16} \cdot \frac{y^{2} + 8 y}{y^{3} + 2 y^{2} + 4 y}$

Schritt 2

Faktorisiere $y^{2} + 6 y - 16$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 16$ und deren Summe $6$ ist.

$- 2, 8$

Schritt 2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(y - 2) (y^{2} + 2 y + 4)}{(y - 2) (y + 8)} \cdot \frac{y^{2} + 8 y}{y^{3} + 2 y^{2} + 4 y}$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{2} + 8 y$ heraus.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{2}$ heraus.

$\frac{(y - 2) (y^{2} + 2 y + 4)}{(y - 2) (y + 8)} \cdot \frac{y \cdot y + 8 y}{y^{3} + 2 y^{2} + 4 y}$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $y$ aus $8 y$ heraus.

$\frac{(y - 2) (y^{2} + 2 y + 4)}{(y - 2) (y + 8)} \cdot \frac{y \cdot y + y \cdot 8}{y^{3} + 2 y^{2} + 4 y}$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot y + y \cdot 8$ heraus.

$\frac{(y - 2) (y^{2} + 2 y + 4)}{(y - 2) (y + 8)} \cdot \frac{y (y + 8)}{y^{3} + 2 y^{2} + 4 y}$

Schritt 3.2

Faktorisiere $y$ aus $y^{3} + 2 y^{2} + 4 y$ heraus.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{3}$ heraus.

$\frac{(y - 2) (y^{2} + 2 y + 4)}{(y - 2) (y + 8)} \cdot \frac{y (y + 8)}{y \cdot y^{2} + 2 y^{2} + 4 y}$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere $y$ aus $2 y^{2}$ heraus.

$\frac{(y - 2) (y^{2} + 2 y + 4)}{(y - 2) (y + 8)} \cdot \frac{y (y + 8)}{y \cdot y^{2} + y (2 y) + 4 y}$

Schritt 3.2.3

Faktorisiere $y$ aus $4 y$ heraus.

$\frac{(y - 2) (y^{2} + 2 y + 4)}{(y - 2) (y + 8)} \cdot \frac{y (y + 8)}{y \cdot y^{2} + y (2 y) + y \cdot 4}$

Schritt 3.2.4

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot y^{2} + y (2 y)$ heraus.

$\frac{(y - 2) (y^{2} + 2 y + 4)}{(y - 2) (y + 8)} \cdot \frac{y (y + 8)}{y (y^{2} + 2 y) + y \cdot 4}$

Schritt 3.2.5

Faktorisiere $y$ aus $y (y^{2} + 2 y) + y \cdot 4$ heraus.

$\frac{(y - 2) (y^{2} + 2 y + 4)}{(y - 2) (y + 8)} \cdot \frac{y (y + 8)}{y (y^{2} + 2 y + 4)}$

Schritt 3.3

Kombinieren.

$\frac{(y - 2) (y^{2} + 2 y + 4) (y (y + 8))}{(y - 2) (y + 8) (y (y^{2} + 2 y + 4))}$

Schritt 3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y - 2$ .

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Schritt 3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(y - 2) (y^{2} + 2 y + 4) (y (y + 8))}{(y - 2) (y + 8) (y (y^{2} + 2 y + 4))}$

Schritt 3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(y^{2} + 2 y + 4) (y (y + 8))}{(y + 8) (y (y^{2} + 2 y + 4))}$

Schritt 3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2} + 2 y + 4$ .

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Schritt 3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(y^{2} + 2 y + 4) (y (y + 8))}{(y + 8) (y (y^{2} + 2 y + 4))}$

Schritt 3.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y (y + 8)}{(y + 8) (y)}$

Schritt 3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (y + 8)}{(y + 8) y}$

Schritt 3.6.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y + 8}{y + 8}$

Schritt 3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y + 8$ .

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Schritt 3.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y + 8}{y + 8}$

Schritt 3.7.2

Forme den Ausdruck um.

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