Grundlegende Mathematik Beispiele

$\frac{y^{3} - 27}{y^{3} + 27} \div \frac{y^{2} - 9}{y^{2} - 3 y + 9}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{y^{3} - 27}{y^{3} + 27} \cdot \frac{y^{2} - 3 y + 9}{y^{2} - 9}$

Schritt 2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1

Schreibe $27$ als $3^{3}$ um.

$\frac{y^{3} - 3^{3}}{y^{3} + 27} \cdot \frac{y^{2} - 3 y + 9}{y^{2} - 9}$

Schritt 2.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = y$ und $b = 3$ .

$\frac{(y - 3) (y^{2} + y \cdot 3 + 3^{2})}{y^{3} + 27} \cdot \frac{y^{2} - 3 y + 9}{y^{2} - 9}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $y$ .

$\frac{(y - 3) (y^{2} + 3 \cdot y + 3^{2})}{y^{3} + 27} \cdot \frac{y^{2} - 3 y + 9}{y^{2} - 9}$

Schritt 2.3.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{(y - 3) (y^{2} + 3 y + 9)}{y^{3} + 27} \cdot \frac{y^{2} - 3 y + 9}{y^{2} - 9}$

Schritt 3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1

Schreibe $27$ als $3^{3}$ um.

$\frac{(y - 3) (y^{2} + 3 y + 9)}{y^{3} + 3^{3}} \cdot \frac{y^{2} - 3 y + 9}{y^{2} - 9}$

Schritt 3.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = y$ und $b = 3$ .

$\frac{(y - 3) (y^{2} + 3 y + 9)}{(y + 3) (y^{2} - y \cdot 3 + 3^{2})} \cdot \frac{y^{2} - 3 y + 9}{y^{2} - 9}$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{(y - 3) (y^{2} + 3 y + 9)}{(y + 3) (y^{2} - 3 y + 3^{2})} \cdot \frac{y^{2} - 3 y + 9}{y^{2} - 9}$

Schritt 3.3.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{(y - 3) (y^{2} + 3 y + 9)}{(y + 3) (y^{2} - 3 y + 9)} \cdot \frac{y^{2} - 3 y + 9}{y^{2} - 9}$

Schritt 4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2} - 3 y + 9$ .

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $y^{2} - 3 y + 9$ aus $(y + 3) (y^{2} - 3 y + 9)$ heraus.

$\frac{(y - 3) (y^{2} + 3 y + 9)}{(y^{2} - 3 y + 9) (y + 3)} \cdot \frac{y^{2} - 3 y + 9}{y^{2} - 9}$

Schritt 4.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(y - 3) (y^{2} + 3 y + 9)}{(y^{2} - 3 y + 9) (y + 3)} \cdot \frac{y^{2} - 3 y + 9}{y^{2} - 9}$

Schritt 4.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(y - 3) (y^{2} + 3 y + 9)}{y + 3} \cdot \frac{1}{y^{2} - 9}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{(y - 3) (y^{2} + 3 y + 9)}{y + 3}$ mit $\frac{1}{y^{2} - 9}$ .

$\frac{(y - 3) (y^{2} + 3 y + 9)}{(y + 3) (y^{2} - 9)}$

Schritt 5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{(y - 3) (y^{2} + 3 y + 9)}{(y + 3) (y^{2} - 3^{2})}$

Schritt 5.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = y$ und $b = 3$ .

$\frac{(y - 3) (y^{2} + 3 y + 9)}{(y + 3) (y + 3) (y - 3)}$

Schritt 5.3

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 5.3.1

Potenziere $y + 3$ mit $1$ .

$\frac{(y - 3) (y^{2} + 3 y + 9)}{{(y + 3)}^{1} (y + 3) (y - 3)}$

Schritt 5.3.2

Potenziere $y + 3$ mit $1$ .

$\frac{(y - 3) (y^{2} + 3 y + 9)}{{(y + 3)}^{1} {(y + 3)}^{1} (y - 3)}$

Schritt 5.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{(y - 3) (y^{2} + 3 y + 9)}{{(y + 3)}^{1 + 1} (y - 3)}$

Schritt 5.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{(y - 3) (y^{2} + 3 y + 9)}{{(y + 3)}^{2} (y - 3)}$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y - 3$ .

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(y - 3) (y^{2} + 3 y + 9)}{{(y + 3)}^{2} (y - 3)}$

Schritt 6.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y^{2} + 3 y + 9}{{(y + 3)}^{2}}$