Grundlegende Mathematik Beispiele

$\frac{8 r^{3} + s^{3}}{2 r^{2} \cdot (3 r s) + s^{2}} \div \frac{12 r^{2} - 6 r + 3 s^{2}}{4 r^{2} + 4 r s + s^{2}}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{8 r^{3} + s^{3}}{2 r^{2} \cdot (3 r s) + s^{2}} \cdot \frac{4 r^{2} + 4 r s + s^{2}}{12 r^{2} - 6 r + 3 s^{2}}$

Schritt 2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1

Schreibe $8 r^{3}$ als ${(2 r)}^{3}$ um.

$\frac{{(2 r)}^{3} + s^{3}}{2 r^{2} \cdot (3 r s) + s^{2}} \cdot \frac{4 r^{2} + 4 r s + s^{2}}{12 r^{2} - 6 r + 3 s^{2}}$

Schritt 2.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = 2 r$ und $b = s$ .

$\frac{(2 r + s) ({(2 r)}^{2} - (2 r) s + s^{2})}{2 r^{2} \cdot (3 r s) + s^{2}} \cdot \frac{4 r^{2} + 4 r s + s^{2}}{12 r^{2} - 6 r + 3 s^{2}}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Wende die Produktregel auf $2 r$ an.

$\frac{(2 r + s) (2^{2} r^{2} - (2 r) s + s^{2})}{2 r^{2} \cdot (3 r s) + s^{2}} \cdot \frac{4 r^{2} + 4 r s + s^{2}}{12 r^{2} - 6 r + 3 s^{2}}$

Schritt 2.3.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{(2 r + s) (4 r^{2} - (2 r) s + s^{2})}{2 r^{2} \cdot (3 r s) + s^{2}} \cdot \frac{4 r^{2} + 4 r s + s^{2}}{12 r^{2} - 6 r + 3 s^{2}}$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{(2 r + s) (4 r^{2} - 2 r s + s^{2})}{2 r^{2} \cdot (3 r s) + s^{2}} \cdot \frac{4 r^{2} + 4 r s + s^{2}}{12 r^{2} - 6 r + 3 s^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $s$ aus $2 r^{2} \cdot (3 r s) + s^{2}$ heraus.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $s$ aus $2 r^{2} \cdot (3 r s)$ heraus.

$\frac{(2 r + s) (4 r^{2} - 2 r s + s^{2})}{s (2 r^{2} \cdot (3 r)) + s^{2}} \cdot \frac{4 r^{2} + 4 r s + s^{2}}{12 r^{2} - 6 r + 3 s^{2}}$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $s$ aus $s^{2}$ heraus.

$\frac{(2 r + s) (4 r^{2} - 2 r s + s^{2})}{s (2 r^{2} \cdot (3 r)) + s \cdot s} \cdot \frac{4 r^{2} + 4 r s + s^{2}}{12 r^{2} - 6 r + 3 s^{2}}$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $s$ aus $s (2 r^{2} \cdot (3 r)) + s \cdot s$ heraus.

$\frac{(2 r + s) (4 r^{2} - 2 r s + s^{2})}{s (2 r^{2} \cdot (3 r) + s)} \cdot \frac{4 r^{2} + 4 r s + s^{2}}{12 r^{2} - 6 r + 3 s^{2}}$

Schritt 3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{(2 r + s) (4 r^{2} - 2 r s + s^{2})}{s (2 \cdot 3 r^{2} r + s)} \cdot \frac{4 r^{2} + 4 r s + s^{2}}{12 r^{2} - 6 r + 3 s^{2}}$

Schritt 3.3

Multipliziere $r^{2}$ mit $r$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1

Bewege $r$ .

$\frac{(2 r + s) (4 r^{2} - 2 r s + s^{2})}{s (2 \cdot 3 (r \cdot r^{2}) + s)} \cdot \frac{4 r^{2} + 4 r s + s^{2}}{12 r^{2} - 6 r + 3 s^{2}}$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $r$ mit $r^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1

Potenziere $r$ mit $1$ .

$\frac{(2 r + s) (4 r^{2} - 2 r s + s^{2})}{s (2 \cdot 3 (r^{1} r^{2}) + s)} \cdot \frac{4 r^{2} + 4 r s + s^{2}}{12 r^{2} - 6 r + 3 s^{2}}$

Schritt 3.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{(2 r + s) (4 r^{2} - 2 r s + s^{2})}{s (2 \cdot 3 r^{1 + 2} + s)} \cdot \frac{4 r^{2} + 4 r s + s^{2}}{12 r^{2} - 6 r + 3 s^{2}}$

Schritt 3.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{(2 r + s) (4 r^{2} - 2 r s + s^{2})}{s (2 \cdot 3 r^{3} + s)} \cdot \frac{4 r^{2} + 4 r s + s^{2}}{12 r^{2} - 6 r + 3 s^{2}}$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{(2 r + s) (4 r^{2} - 2 r s + s^{2})}{s (6 r^{3} + s)} \cdot \frac{4 r^{2} + 4 r s + s^{2}}{12 r^{2} - 6 r + 3 s^{2}}$

Schritt 4

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 4.1

Schreibe $4 r^{2}$ als ${(2 r)}^{2}$ um.

$\frac{(2 r + s) (4 r^{2} - 2 r s + s^{2})}{s (6 r^{3} + s)} \cdot \frac{{(2 r)}^{2} + 4 r s + s^{2}}{12 r^{2} - 6 r + 3 s^{2}}$

Schritt 4.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$4 r s = 2 \cdot (2 r) \cdot s$

Schritt 4.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{(2 r + s) (4 r^{2} - 2 r s + s^{2})}{s (6 r^{3} + s)} \cdot \frac{{(2 r)}^{2} + 2 \cdot (2 r) \cdot s + s^{2}}{12 r^{2} - 6 r + 3 s^{2}}$

Schritt 4.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = 2 r$ und $b = s$ .

$\frac{(2 r + s) (4 r^{2} - 2 r s + s^{2})}{s (6 r^{3} + s)} \cdot \frac{{(2 r + s)}^{2}}{12 r^{2} - 6 r + 3 s^{2}}$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $3$ aus $12 r^{2} - 6 r + 3 s^{2}$ heraus.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $3$ aus $12 r^{2}$ heraus.

$\frac{(2 r + s) (4 r^{2} - 2 r s + s^{2})}{s (6 r^{3} + s)} \cdot \frac{{(2 r + s)}^{2}}{3 (4 r^{2}) - 6 r + 3 s^{2}}$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 6 r$ heraus.

$\frac{(2 r + s) (4 r^{2} - 2 r s + s^{2})}{s (6 r^{3} + s)} \cdot \frac{{(2 r + s)}^{2}}{3 (4 r^{2}) + 3 (- 2 r) + 3 s^{2}}$

Schritt 5.1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 s^{2}$ heraus.

$\frac{(2 r + s) (4 r^{2} - 2 r s + s^{2})}{s (6 r^{3} + s)} \cdot \frac{{(2 r + s)}^{2}}{3 (4 r^{2}) + 3 (- 2 r) + 3 (s^{2})}$

Schritt 5.1.4

Faktorisiere $3$ aus $3 (4 r^{2}) + 3 (- 2 r)$ heraus.

$\frac{(2 r + s) (4 r^{2} - 2 r s + s^{2})}{s (6 r^{3} + s)} \cdot \frac{{(2 r + s)}^{2}}{3 (4 r^{2} - 2 r) + 3 (s^{2})}$

Schritt 5.1.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (4 r^{2} - 2 r) + 3 (s^{2})$ heraus.

$\frac{(2 r + s) (4 r^{2} - 2 r s + s^{2})}{s (6 r^{3} + s)} \cdot \frac{{(2 r + s)}^{2}}{3 (4 r^{2} - 2 r + s^{2})}$

Schritt 5.2

Kombinieren.

$\frac{(2 r + s) (4 r^{2} - 2 r s + s^{2}) {(2 r + s)}^{2}}{s (6 r^{3} + s) (3 (4 r^{2} - 2 r + s^{2}))}$

Schritt 6

Multipliziere $2 r + s$ mit ${(2 r + s)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1

Bewege ${(2 r + s)}^{2}$ .

$\frac{{(2 r + s)}^{2} (2 r + s) (4 r^{2} - 2 r s + s^{2})}{s (6 r^{3} + s) (3 (4 r^{2} - 2 r + s^{2}))}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere ${(2 r + s)}^{2}$ mit $2 r + s$ .

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Schritt 6.2.1

Potenziere $2 r + s$ mit $1$ .

$\frac{{(2 r + s)}^{2} {(2 r + s)}^{1} (4 r^{2} - 2 r s + s^{2})}{s (6 r^{3} + s) (3 (4 r^{2} - 2 r + s^{2}))}$

Schritt 6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{(2 r + s)}^{2 + 1} (4 r^{2} - 2 r s + s^{2})}{s (6 r^{3} + s) (3 (4 r^{2} - 2 r + s^{2}))}$

Schritt 6.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{{(2 r + s)}^{3} (4 r^{2} - 2 r s + s^{2})}{s (6 r^{3} + s) (3 (4 r^{2} - 2 r + s^{2}))}$

Schritt 7

Bringe $3$ auf die linke Seite von $s (6 r^{3} + s)$ .

$\frac{{(2 r + s)}^{3} (4 r^{2} - 2 r s + s^{2})}{3 s (6 r^{3} + s) (4 r^{2} - 2 r + s^{2})}$