Grundlegende Mathematik Beispiele

$\frac{75 n^{2} - 147}{5 n^{2} - 12 n + 7} \div \frac{35 n^{2} + 34 n - 21}{n^{2} - 8 n + 7}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{75 n^{2} - 147}{5 n^{2} - 12 n + 7} \cdot \frac{n^{2} - 8 n + 7}{35 n^{2} + 34 n - 21}$

Schritt 2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $3$ aus $75 n^{2} - 147$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $3$ aus $75 n^{2}$ heraus.

$\frac{3 (25 n^{2}) - 147}{5 n^{2} - 12 n + 7} \cdot \frac{n^{2} - 8 n + 7}{35 n^{2} + 34 n - 21}$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 147$ heraus.

$\frac{3 (25 n^{2}) + 3 (- 49)}{5 n^{2} - 12 n + 7} \cdot \frac{n^{2} - 8 n + 7}{35 n^{2} + 34 n - 21}$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (25 n^{2}) + 3 (- 49)$ heraus.

$\frac{3 (25 n^{2} - 49)}{5 n^{2} - 12 n + 7} \cdot \frac{n^{2} - 8 n + 7}{35 n^{2} + 34 n - 21}$

Schritt 2.2

Schreibe $25 n^{2}$ als ${(5 n)}^{2}$ um.

$\frac{3 ({(5 n)}^{2} - 49)}{5 n^{2} - 12 n + 7} \cdot \frac{n^{2} - 8 n + 7}{35 n^{2} + 34 n - 21}$

Schritt 2.3

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

$\frac{3 ({(5 n)}^{2} - 7^{2})}{5 n^{2} - 12 n + 7} \cdot \frac{n^{2} - 8 n + 7}{35 n^{2} + 34 n - 21}$

Schritt 2.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 5 n$ und $b = 7$ .

$\frac{3 (5 n + 7) (5 n - 7)}{5 n^{2} - 12 n + 7} \cdot \frac{n^{2} - 8 n + 7}{35 n^{2} + 34 n - 21}$

Schritt 3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 5 \cdot 7 = 35$ und deren Summe gleich $b = - 12$ ist.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $- 12$ aus $- 12 n$ heraus.

$\frac{3 (5 n + 7) (5 n - 7)}{5 n^{2} - 12 (n) + 7} \cdot \frac{n^{2} - 8 n + 7}{35 n^{2} + 34 n - 21}$

Schritt 3.1.2

Schreibe $- 12$ um als $- 5$ plus $- 7$

$\frac{3 (5 n + 7) (5 n - 7)}{5 n^{2} + (- 5 - 7) n + 7} \cdot \frac{n^{2} - 8 n + 7}{35 n^{2} + 34 n - 21}$

Schritt 3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (5 n + 7) (5 n - 7)}{5 n^{2} - 5 n - 7 n + 7} \cdot \frac{n^{2} - 8 n + 7}{35 n^{2} + 34 n - 21}$

Schritt 3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{3 (5 n + 7) (5 n - 7)}{(5 n^{2} - 5 n) - 7 n + 7} \cdot \frac{n^{2} - 8 n + 7}{35 n^{2} + 34 n - 21}$

Schritt 3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{3 (5 n + 7) (5 n - 7)}{5 n (n - 1) - 7 (n - 1)} \cdot \frac{n^{2} - 8 n + 7}{35 n^{2} + 34 n - 21}$

Schritt 3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $n - 1$ .

$\frac{3 (5 n + 7) (5 n - 7)}{(n - 1) (5 n - 7)} \cdot \frac{n^{2} - 8 n + 7}{35 n^{2} + 34 n - 21}$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5 n - 7$ .

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (5 n + 7) (5 n - 7)}{(n - 1) (5 n - 7)} \cdot \frac{n^{2} - 8 n + 7}{35 n^{2} + 34 n - 21}$

Schritt 4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 (5 n + 7)}{n - 1} \cdot \frac{n^{2} - 8 n + 7}{35 n^{2} + 34 n - 21}$

Schritt 5

Faktorisiere $n^{2} - 8 n + 7$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $7$ und deren Summe $- 8$ ist.

$- 7, - 1$

Schritt 5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{3 (5 n + 7)}{n - 1} \cdot \frac{(n - 7) (n - 1)}{35 n^{2} + 34 n - 21}$

Schritt 6

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 6.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 35 \cdot - 21 = - 735$ und deren Summe gleich $b = 34$ ist.

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere $34$ aus $34 n$ heraus.

$\frac{3 (5 n + 7)}{n - 1} \cdot \frac{(n - 7) (n - 1)}{35 n^{2} + 34 (n) - 21}$

Schritt 6.1.2

Schreibe $34$ um als $- 15$ plus $49$

$\frac{3 (5 n + 7)}{n - 1} \cdot \frac{(n - 7) (n - 1)}{35 n^{2} + (- 15 + 49) n - 21}$

Schritt 6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (5 n + 7)}{n - 1} \cdot \frac{(n - 7) (n - 1)}{35 n^{2} - 15 n + 49 n - 21}$

Schritt 6.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 6.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{3 (5 n + 7)}{n - 1} \cdot \frac{(n - 7) (n - 1)}{(35 n^{2} - 15 n) + 49 n - 21}$

Schritt 6.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{3 (5 n + 7)}{n - 1} \cdot \frac{(n - 7) (n - 1)}{5 n (7 n - 3) + 7 (7 n - 3)}$

Schritt 6.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $7 n - 3$ .

$\frac{3 (5 n + 7)}{n - 1} \cdot \frac{(n - 7) (n - 1)}{(7 n - 3) (5 n + 7)}$

Schritt 7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5 n + 7$ .

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Schritt 7.1

Faktorisiere $5 n + 7$ aus $3 (5 n + 7)$ heraus.

$\frac{(5 n + 7) \cdot 3}{n - 1} \cdot \frac{(n - 7) (n - 1)}{(7 n - 3) (5 n + 7)}$

Schritt 7.2

Faktorisiere $5 n + 7$ aus $(7 n - 3) (5 n + 7)$ heraus.

$\frac{(5 n + 7) \cdot 3}{n - 1} \cdot \frac{(n - 7) (n - 1)}{(5 n + 7) (7 n - 3)}$

Schritt 7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(5 n + 7) \cdot 3}{n - 1} \cdot \frac{(n - 7) (n - 1)}{(5 n + 7) (7 n - 3)}$

Schritt 7.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{n - 1} \cdot \frac{(n - 7) (n - 1)}{7 n - 3}$

Schritt 8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $n - 1$ .

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Schritt 8.1

Faktorisiere $n - 1$ aus $(n - 7) (n - 1)$ heraus.

$\frac{3}{n - 1} \cdot \frac{(n - 1) (n - 7)}{7 n - 3}$

Schritt 8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{n - 1} \cdot \frac{(n - 1) (n - 7)}{7 n - 3}$

Schritt 8.3

Forme den Ausdruck um.

$3 \frac{n - 7}{7 n - 3}$

Schritt 9

Kombiniere $3$ und $\frac{n - 7}{7 n - 3}$ .

$\frac{3 (n - 7)}{7 n - 3}$