Grundlegende Mathematik Beispiele

$\frac{a}{1 - a^{2}} + \frac{a}{1 + a^{2}}$

Schritt 1

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Schreibe

$1$ als

$1^{2}$ um.

$\frac{a}{1^{2} - a^{2}} + \frac{a}{1 + a^{2}}$

Schritt 1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel,

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit

$a = 1$ und

$b = a$ .

$\frac{a}{(1 + a) (1 - a)} + \frac{a}{1 + a^{2}}$

Schritt 2

$\frac{a}{(1 + a) (1 - a)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit

$\frac{1 + a^{2}}{1 + a^{2}}$ .

$\frac{a}{(1 + a) (1 - a)} \cdot \frac{1 + a^{2}}{1 + a^{2}} + \frac{a}{1 + a^{2}}$

Schritt 3

$\frac{a}{1 + a^{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit

$\frac{(1 + a) (1 - a)}{(1 + a) (1 - a)}$ .

$\frac{a}{(1 + a) (1 - a)} \cdot \frac{1 + a^{2}}{1 + a^{2}} + \frac{a}{1 + a^{2}} \cdot \frac{(1 + a) (1 - a)}{(1 + a) (1 - a)}$

Schritt 4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von

$(1 + a) (1 - a) (1 + a^{2})$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von

$1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Mutltipliziere

$\frac{a}{(1 + a) (1 - a)}$ mit

$\frac{1 + a^{2}}{1 + a^{2}}$ .

$\frac{a (1 + a^{2})}{(1 + a) (1 - a) (1 + a^{2})} + \frac{a}{1 + a^{2}} \cdot \frac{(1 + a) (1 - a)}{(1 + a) (1 - a)}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere

$\frac{a}{1 + a^{2}}$ mit

$\frac{(1 + a) (1 - a)}{(1 + a) (1 - a)}$ .

$\frac{a (1 + a^{2})}{(1 + a) (1 - a) (1 + a^{2})} + \frac{a ((1 + a) (1 - a))}{(1 + a^{2}) ((1 + a) (1 - a))}$

Schritt 4.3

Stelle die Faktoren von

$(1 + a) (1 - a) (1 + a^{2})$ um.

$\frac{a (1 + a^{2})}{(1 + a) (1 + a^{2}) (1 - a)} + \frac{a ((1 + a) (1 - a))}{(1 + a^{2}) ((1 + a) (1 - a))}$

Schritt 4.4

Stelle die Faktoren von

$(1 + a^{2}) ((1 + a) (1 - a))$ um.

$\frac{a (1 + a^{2})}{(1 + a) (1 + a^{2}) (1 - a)} + \frac{a ((1 + a) (1 - a))}{(1 + a) (1 + a^{2}) (1 - a)}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{a (1 + a^{2}) + a ((1 + a) (1 - a))}{(1 + a) (1 + a^{2}) (1 - a)}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Faktorisiere

$a$ aus

$a (1 + a^{2}) + a ((1 + a) (1 - a))$ heraus.

$\frac{a (1 + a^{2} + (1 + a) (1 - a))}{(1 + a) (1 + a^{2}) (1 - a)}$

Schritt 6.2

Es sei

$u = 1$ . Ersetze

$u$ für alle

$1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Subtrahiere

$a^{2}$ von

$a^{2}$ .

$\frac{a (u + u^{2} + 0)}{(1 + a) (1 + a^{2}) (1 - a)}$

Schritt 6.2.2

Addiere

$u + u^{2}$ und

$0$ .

$\frac{a (u + u^{2})}{(1 + a) (1 + a^{2}) (1 - a)}$

Schritt 6.3

Faktorisiere

$u$ aus

$u + u^{2}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.1

Potenziere

$u$ mit

$1$ .

$\frac{a (u^{1} + u^{2})}{(1 + a) (1 + a^{2}) (1 - a)}$

Schritt 6.3.2

Faktorisiere

$u$ aus

$u^{1}$ heraus.

$\frac{a (u \cdot 1 + u^{2})}{(1 + a) (1 + a^{2}) (1 - a)}$

Schritt 6.3.3

Faktorisiere

$u$ aus

$u^{2}$ heraus.

$\frac{a (u \cdot 1 + u \cdot u)}{(1 + a) (1 + a^{2}) (1 - a)}$

Schritt 6.3.4

Faktorisiere

$u$ aus

$u \cdot 1 + u \cdot u$ heraus.

$\frac{a (u (1 + u))}{(1 + a) (1 + a^{2}) (1 - a)}$

Schritt 6.4

Ersetze alle

$u$ durch

$1$ .

$\frac{a (1 (1 + 1))}{(1 + a) (1 + a^{2}) (1 - a)}$

Schritt 6.5

Addiere

$1$ und

$1$ .

$\frac{a (1 \cdot 2)}{(1 + a) (1 + a^{2}) (1 - a)}$

Schritt 6.6

Mutltipliziere

$2$ mit

$1$ .

$\frac{a \cdot 2}{(1 + a) (1 + a^{2}) (1 - a)}$

Schritt 7

Bringe

$2$ auf die linke Seite von

$a$ .

$\frac{2 a}{(1 + a) (1 + a^{2}) (1 - a)}$