Grundlegende Mathematik Beispiele

$\frac{a}{1 - a^{2}} + \frac{a}{1 + a^{2}}$

Schritt 1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{a}{1^{2} - a^{2}} + \frac{a}{1 + a^{2}}$

Schritt 1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = a$ .

$\frac{a}{(1 + a) (1 - a)} + \frac{a}{1 + a^{2}}$

Schritt 2

Um $\frac{a}{(1 + a) (1 - a)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 + a^{2}}{1 + a^{2}}$ .

$\frac{a}{(1 + a) (1 - a)} \cdot \frac{1 + a^{2}}{1 + a^{2}} + \frac{a}{1 + a^{2}}$

Schritt 3

Um $\frac{a}{1 + a^{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{(1 + a) (1 - a)}{(1 + a) (1 - a)}$ .

$\frac{a}{(1 + a) (1 - a)} \cdot \frac{1 + a^{2}}{1 + a^{2}} + \frac{a}{1 + a^{2}} \cdot \frac{(1 + a) (1 - a)}{(1 + a) (1 - a)}$

Schritt 4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(1 + a) (1 - a) (1 + a^{2})$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{a}{(1 + a) (1 - a)}$ mit $\frac{1 + a^{2}}{1 + a^{2}}$ .

$\frac{a (1 + a^{2})}{(1 + a) (1 - a) (1 + a^{2})} + \frac{a}{1 + a^{2}} \cdot \frac{(1 + a) (1 - a)}{(1 + a) (1 - a)}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{a}{1 + a^{2}}$ mit $\frac{(1 + a) (1 - a)}{(1 + a) (1 - a)}$ .

$\frac{a (1 + a^{2})}{(1 + a) (1 - a) (1 + a^{2})} + \frac{a ((1 + a) (1 - a))}{(1 + a^{2}) ((1 + a) (1 - a))}$

Schritt 4.3

Stelle die Faktoren von $(1 + a) (1 - a) (1 + a^{2})$ um.

$\frac{a (1 + a^{2})}{(1 + a) (1 + a^{2}) (1 - a)} + \frac{a ((1 + a) (1 - a))}{(1 + a^{2}) ((1 + a) (1 - a))}$

Schritt 4.4

Stelle die Faktoren von $(1 + a^{2}) ((1 + a) (1 - a))$ um.

$\frac{a (1 + a^{2})}{(1 + a) (1 + a^{2}) (1 - a)} + \frac{a ((1 + a) (1 - a))}{(1 + a) (1 + a^{2}) (1 - a)}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{a (1 + a^{2}) + a ((1 + a) (1 - a))}{(1 + a) (1 + a^{2}) (1 - a)}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $a$ aus $a (1 + a^{2}) + a ((1 + a) (1 - a))$ heraus.

$\frac{a (1 + a^{2} + (1 + a) (1 - a))}{(1 + a) (1 + a^{2}) (1 - a)}$

Schritt 6.2

Es sei $u = 1$ . Ersetze $u$ für alle $1$ .

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Schritt 6.2.1

Subtrahiere $a^{2}$ von $a^{2}$ .

$\frac{a (u + u^{2} + 0)}{(1 + a) (1 + a^{2}) (1 - a)}$

Schritt 6.2.2

Addiere $u + u^{2}$ und $0$ .

$\frac{a (u + u^{2})}{(1 + a) (1 + a^{2}) (1 - a)}$

Schritt 6.3

Faktorisiere $u$ aus $u + u^{2}$ heraus.

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Schritt 6.3.1

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\frac{a (u^{1} + u^{2})}{(1 + a) (1 + a^{2}) (1 - a)}$

Schritt 6.3.2

Faktorisiere $u$ aus $u^{1}$ heraus.

$\frac{a (u \cdot 1 + u^{2})}{(1 + a) (1 + a^{2}) (1 - a)}$

Schritt 6.3.3

Faktorisiere $u$ aus $u^{2}$ heraus.

$\frac{a (u \cdot 1 + u \cdot u)}{(1 + a) (1 + a^{2}) (1 - a)}$

Schritt 6.3.4

Faktorisiere $u$ aus $u \cdot 1 + u \cdot u$ heraus.

$\frac{a (u (1 + u))}{(1 + a) (1 + a^{2}) (1 - a)}$

Schritt 6.4

Ersetze alle $u$ durch $1$ .

$\frac{a (1 (1 + 1))}{(1 + a) (1 + a^{2}) (1 - a)}$

Schritt 6.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{a (1 \cdot 2)}{(1 + a) (1 + a^{2}) (1 - a)}$

Schritt 6.6

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{a \cdot 2}{(1 + a) (1 + a^{2}) (1 - a)}$

Schritt 7

Bringe $2$ auf die linke Seite von $a$ .

$\frac{2 a}{(1 + a) (1 + a^{2}) (1 - a)}$