Grundlegende Mathematik Beispiele

$\frac{a}{a^{2} + 10 a + 25} - \frac{4 - a}{a^{2} + 6 a + 5}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 1.1.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{a}{a^{2} + 10 a + 5^{2}} - \frac{4 - a}{a^{2} + 6 a + 5}$

Schritt 1.1.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$10 a = 2 \cdot a \cdot 5$

Schritt 1.1.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{a}{a^{2} + 2 \cdot a \cdot 5 + 5^{2}} - \frac{4 - a}{a^{2} + 6 a + 5}$

Schritt 1.1.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = a$ und $b = 5$ .

$\frac{a}{{(a + 5)}^{2}} - \frac{4 - a}{a^{2} + 6 a + 5}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $a^{2} + 6 a + 5$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $5$ und deren Summe $6$ ist.

$1, 5$

Schritt 1.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{a}{{(a + 5)}^{2}} - \frac{4 - a}{(a + 1) (a + 5)}$

Schritt 2

Um $\frac{a}{{(a + 5)}^{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{a + 1}{a + 1}$ .

$\frac{a}{{(a + 5)}^{2}} \cdot \frac{a + 1}{a + 1} - \frac{4 - a}{(a + 1) (a + 5)}$

Schritt 3

Um $- \frac{4 - a}{(a + 1) (a + 5)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{a + 5}{a + 5}$ .

$\frac{a}{{(a + 5)}^{2}} \cdot \frac{a + 1}{a + 1} - \frac{4 - a}{(a + 1) (a + 5)} \cdot \frac{a + 5}{a + 5}$

Schritt 4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(a + 1) {(a + 5)}^{2}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{a}{{(a + 5)}^{2}}$ mit $\frac{a + 1}{a + 1}$ .

$\frac{a (a + 1)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)} - \frac{4 - a}{(a + 1) (a + 5)} \cdot \frac{a + 5}{a + 5}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{4 - a}{(a + 1) (a + 5)}$ mit $\frac{a + 5}{a + 5}$ .

$\frac{a (a + 1)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)} - \frac{(4 - a) (a + 5)}{(a + 1) (a + 5) (a + 5)}$

Schritt 4.3

Potenziere $a + 5$ mit $1$ .

$\frac{a (a + 1)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)} - \frac{(4 - a) (a + 5)}{(a + 1) ({(a + 5)}^{1} (a + 5))}$

Schritt 4.4

Potenziere $a + 5$ mit $1$ .

$\frac{a (a + 1)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)} - \frac{(4 - a) (a + 5)}{(a + 1) ({(a + 5)}^{1} {(a + 5)}^{1})}$

Schritt 4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{a (a + 1)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)} - \frac{(4 - a) (a + 5)}{(a + 1) {(a + 5)}^{1 + 1}}$

Schritt 4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{a (a + 1)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)} - \frac{(4 - a) (a + 5)}{(a + 1) {(a + 5)}^{2}}$

Schritt 4.7

Stelle die Faktoren von $(a + 1) {(a + 5)}^{2}$ um.

$\frac{a (a + 1)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)} - \frac{(4 - a) (a + 5)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{a (a + 1) - (4 - a) (a + 5)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a \cdot a + a \cdot 1 - (4 - a) (a + 5)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$\frac{a^{2} + a \cdot 1 - (4 - a) (a + 5)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $a$ mit $1$ .

$\frac{a^{2} + a - (4 - a) (a + 5)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

Schritt 6.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a^{2} + a + (- 1 \cdot 4 - - a) (a + 5)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

Schritt 6.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{a^{2} + a + (- 4 - - a) (a + 5)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

Schritt 6.6

Multipliziere $- - a$ .

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Schritt 6.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{a^{2} + a + (- 4 + 1 a) (a + 5)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

Schritt 6.6.2

Mutltipliziere $a$ mit $1$ .

$\frac{a^{2} + a + (- 4 + a) (a + 5)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

Schritt 6.7

Multipliziere $(- 4 + a) (a + 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a^{2} + a - 4 (a + 5) + a (a + 5)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

Schritt 6.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a^{2} + a - 4 a - 4 \cdot 5 + a (a + 5)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

Schritt 6.7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a^{2} + a - 4 a - 4 \cdot 5 + a \cdot a + a \cdot 5}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

Schritt 6.8

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.8.1.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $5$ .

$\frac{a^{2} + a - 4 a - 20 + a \cdot a + a \cdot 5}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

Schritt 6.8.1.2

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$\frac{a^{2} + a - 4 a - 20 + a^{2} + a \cdot 5}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

Schritt 6.8.1.3

Bringe $5$ auf die linke Seite von $a$ .

$\frac{a^{2} + a - 4 a - 20 + a^{2} + 5 a}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

Schritt 6.8.2

Addiere $- 4 a$ und $5 a$ .

$\frac{a^{2} + a + a - 20 + a^{2}}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

Schritt 6.9

Addiere $a^{2}$ und $a^{2}$ .

$\frac{2 a^{2} + a + a - 20}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

Schritt 6.10

Addiere $a$ und $a$ .

$\frac{2 a^{2} + 2 a - 20}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

Schritt 6.11

Faktorisiere $2$ aus $2 a^{2} + 2 a - 20$ heraus.

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Schritt 6.11.1

Faktorisiere $2$ aus $2 a^{2}$ heraus.

$\frac{2 (a^{2}) + 2 a - 20}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

Schritt 6.11.2

Faktorisiere $2$ aus $2 a$ heraus.

$\frac{2 (a^{2}) + 2 (a) - 20}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

Schritt 6.11.3

Faktorisiere $2$ aus $- 20$ heraus.

$\frac{2 (a^{2}) + 2 a + 2 \cdot - 10}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

Schritt 6.11.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (a^{2}) + 2 a$ heraus.

$\frac{2 (a^{2} + a) + 2 \cdot - 10}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

Schritt 6.11.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (a^{2} + a) + 2 \cdot - 10$ heraus.

$\frac{2 (a^{2} + a - 10)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$