Grundlegende Mathematik Beispiele

$\frac{9 y - 36}{16 - y^{2}} \cdot \frac{4 y^{2} + 5 y + 1}{36 y + 9}$

Schritt 1

Faktorisiere $9$ aus $9 y - 36$ heraus.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $9$ aus $9 y$ heraus.

$\frac{9 (y) - 36}{16 - y^{2}} \cdot \frac{4 y^{2} + 5 y + 1}{36 y + 9}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $9$ aus $- 36$ heraus.

$\frac{9 y + 9 \cdot - 4}{16 - y^{2}} \cdot \frac{4 y^{2} + 5 y + 1}{36 y + 9}$

Schritt 1.3

Faktorisiere $9$ aus $9 y + 9 \cdot - 4$ heraus.

$\frac{9 (y - 4)}{16 - y^{2}} \cdot \frac{4 y^{2} + 5 y + 1}{36 y + 9}$

Schritt 2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{9 (y - 4)}{4^{2} - y^{2}} \cdot \frac{4 y^{2} + 5 y + 1}{36 y + 9}$

Schritt 2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 4$ und $b = y$ .

$\frac{9 (y - 4)}{(4 + y) (4 - y)} \cdot \frac{4 y^{2} + 5 y + 1}{36 y + 9}$

Schritt 3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 4 \cdot 1 = 4$ und deren Summe gleich $b = 5$ ist.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $5$ aus $5 y$ heraus.

$\frac{9 (y - 4)}{(4 + y) (4 - y)} \cdot \frac{4 y^{2} + 5 (y) + 1}{36 y + 9}$

Schritt 3.1.2

Schreibe $5$ um als $1$ plus $4$

$\frac{9 (y - 4)}{(4 + y) (4 - y)} \cdot \frac{4 y^{2} + (1 + 4) y + 1}{36 y + 9}$

Schritt 3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{9 (y - 4)}{(4 + y) (4 - y)} \cdot \frac{4 y^{2} + 1 y + 4 y + 1}{36 y + 9}$

Schritt 3.1.4

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$\frac{9 (y - 4)}{(4 + y) (4 - y)} \cdot \frac{4 y^{2} + y + 4 y + 1}{36 y + 9}$

Schritt 3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{9 (y - 4)}{(4 + y) (4 - y)} \cdot \frac{(4 y^{2} + y) + 4 y + 1}{36 y + 9}$

Schritt 3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{9 (y - 4)}{(4 + y) (4 - y)} \cdot \frac{y (4 y + 1) + 1 (4 y + 1)}{36 y + 9}$

Schritt 3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $4 y + 1$ .

$\frac{9 (y - 4)}{(4 + y) (4 - y)} \cdot \frac{(4 y + 1) (y + 1)}{36 y + 9}$

Schritt 4

Faktorisiere $9$ aus $36 y + 9$ heraus.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $9$ aus $36 y$ heraus.

$\frac{9 (y - 4)}{(4 + y) (4 - y)} \cdot \frac{(4 y + 1) (y + 1)}{9 (4 y) + 9}$

Schritt 4.2

Faktorisiere $9$ aus $9$ heraus.

$\frac{9 (y - 4)}{(4 + y) (4 - y)} \cdot \frac{(4 y + 1) (y + 1)}{9 (4 y) + 9 (1)}$

Schritt 4.3

Faktorisiere $9$ aus $9 (4 y) + 9 (1)$ heraus.

$\frac{9 (y - 4)}{(4 + y) (4 - y)} \cdot \frac{(4 y + 1) (y + 1)}{9 (4 y + 1)}$

Schritt 5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 (y - 4)}{(4 + y) (4 - y)} \cdot \frac{(4 y + 1) (y + 1)}{9 (4 y + 1)}$

Schritt 5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y - 4}{(4 + y) (4 - y)} \cdot \frac{(4 y + 1) (y + 1)}{4 y + 1}$

Schritt 6

Mutltipliziere $\frac{y - 4}{(4 + y) (4 - y)}$ mit $\frac{(4 y + 1) (y + 1)}{4 y + 1}$ .

$\frac{(y - 4) ((4 y + 1) (y + 1))}{(4 + y) (4 - y) (4 y + 1)}$

Schritt 7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4 y + 1$ .

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Schritt 7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(y - 4) ((4 y + 1) (y + 1))}{(4 + y) (4 - y) (4 y + 1)}$

Schritt 7.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(y - 4) (y + 1)}{(4 + y) (4 - y)}$

Schritt 8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y - 4$ und $4 - y$ .

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Schritt 8.1

Faktorisiere $- 1$ aus $y$ heraus.

$\frac{(- 1 (- y) - 4) (y + 1)}{(4 + y) (4 - y)}$

Schritt 8.2

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$\frac{(- 1 (- y) - 1 (4)) (y + 1)}{(4 + y) (4 - y)}$

Schritt 8.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- y) - 1 (4)$ heraus.

$\frac{- 1 (- y + 4) (y + 1)}{(4 + y) (4 - y)}$

Schritt 8.4

Stelle die Terme um.

$\frac{- 1 (- y + 4) (y + 1)}{(4 + y) (- y + 4)}$

Schritt 8.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1 (- y + 4) (y + 1)}{(4 + y) (- y + 4)}$

Schritt 8.6

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1 (y + 1)}{4 + y}$

Schritt 9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{y + 1}{4 + y}$