Grundlegende Mathematik Beispiele

$\frac{9 y}{y^{2} - 12 + 36} - \frac{54}{y^{2} - 12 y + 36}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Addiere $- 12$ und $36$ .

$\frac{9 y}{y^{2} + 24} - \frac{54}{y^{2} - 12 y + 36}$

Schritt 1.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 1.2.1

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$\frac{9 y}{y^{2} + 24} - \frac{54}{y^{2} - 12 y + 6^{2}}$

Schritt 1.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$12 y = 2 \cdot y \cdot 6$

Schritt 1.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{9 y}{y^{2} + 24} - \frac{54}{y^{2} - 2 \cdot y \cdot 6 + 6^{2}}$

Schritt 1.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = y$ und $b = 6$ .

$\frac{9 y}{y^{2} + 24} - \frac{54}{{(y - 6)}^{2}}$

Schritt 2

Um $\frac{9 y}{y^{2} + 24}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(y - 6)}^{2}}{{(y - 6)}^{2}}$ .

$\frac{9 y}{y^{2} + 24} \cdot \frac{{(y - 6)}^{2}}{{(y - 6)}^{2}} - \frac{54}{{(y - 6)}^{2}}$

Schritt 3

Um $- \frac{54}{{(y - 6)}^{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{y^{2} + 24}{y^{2} + 24}$ .

$\frac{9 y}{y^{2} + 24} \cdot \frac{{(y - 6)}^{2}}{{(y - 6)}^{2}} - \frac{54}{{(y - 6)}^{2}} \cdot \frac{y^{2} + 24}{y^{2} + 24}$

Schritt 4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(y^{2} + 24) {(y - 6)}^{2}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{9 y}{y^{2} + 24}$ mit $\frac{{(y - 6)}^{2}}{{(y - 6)}^{2}}$ .

$\frac{9 y {(y - 6)}^{2}}{(y^{2} + 24) {(y - 6)}^{2}} - \frac{54}{{(y - 6)}^{2}} \cdot \frac{y^{2} + 24}{y^{2} + 24}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{54}{{(y - 6)}^{2}}$ mit $\frac{y^{2} + 24}{y^{2} + 24}$ .

$\frac{9 y {(y - 6)}^{2}}{(y^{2} + 24) {(y - 6)}^{2}} - \frac{54 (y^{2} + 24)}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Schritt 4.3

Stelle die Faktoren von $(y^{2} + 24) {(y - 6)}^{2}$ um.

$\frac{9 y {(y - 6)}^{2}}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)} - \frac{54 (y^{2} + 24)}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{9 y {(y - 6)}^{2} - 54 (y^{2} + 24)}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $9$ aus $9 y {(y - 6)}^{2} - 54 (y^{2} + 24)$ heraus.

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere $9$ aus $9 y {(y - 6)}^{2}$ heraus.

$\frac{9 (y {(y - 6)}^{2}) - 54 (y^{2} + 24)}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Schritt 6.1.2

Faktorisiere $9$ aus $- 54 (y^{2} + 24)$ heraus.

$\frac{9 (y {(y - 6)}^{2}) + 9 (- 6 (y^{2} + 24))}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Schritt 6.1.3

Faktorisiere $9$ aus $9 (y {(y - 6)}^{2}) + 9 (- 6 (y^{2} + 24))$ heraus.

$\frac{9 (y {(y - 6)}^{2} - 6 (y^{2} + 24))}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Schritt 6.2

Schreibe ${(y - 6)}^{2}$ als $(y - 6) (y - 6)$ um.

$\frac{9 (y ((y - 6) (y - 6)) - 6 (y^{2} + 24))}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Schritt 6.3

Multipliziere $(y - 6) (y - 6)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{9 (y (y (y - 6) - 6 (y - 6)) - 6 (y^{2} + 24))}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Schritt 6.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{9 (y (y \cdot y + y \cdot - 6 - 6 (y - 6)) - 6 (y^{2} + 24))}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Schritt 6.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{9 (y (y \cdot y + y \cdot - 6 - 6 y - 6 \cdot - 6) - 6 (y^{2} + 24))}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Schritt 6.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.4.1.1

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$\frac{9 (y (y^{2} + y \cdot - 6 - 6 y - 6 \cdot - 6) - 6 (y^{2} + 24))}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Schritt 6.4.1.2

Bringe $- 6$ auf die linke Seite von $y$ .

$\frac{9 (y (y^{2} - 6 \cdot y - 6 y - 6 \cdot - 6) - 6 (y^{2} + 24))}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Schritt 6.4.1.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 6$ .

$\frac{9 (y (y^{2} - 6 y - 6 y + 36) - 6 (y^{2} + 24))}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Schritt 6.4.2

Subtrahiere $6 y$ von $- 6 y$ .

$\frac{9 (y (y^{2} - 12 y + 36) - 6 (y^{2} + 24))}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Schritt 6.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{9 (y \cdot y^{2} + y (- 12 y) + y \cdot 36 - 6 (y^{2} + 24))}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Schritt 6.6

Vereinfache.

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Schritt 6.6.1

Multipliziere $y$ mit $y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.6.1.1

Mutltipliziere $y$ mit $y^{2}$ .

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Schritt 6.6.1.1.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{9 (y^{1} y^{2} + y (- 12 y) + y \cdot 36 - 6 (y^{2} + 24))}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Schritt 6.6.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{9 (y^{1 + 2} + y (- 12 y) + y \cdot 36 - 6 (y^{2} + 24))}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Schritt 6.6.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{9 (y^{3} + y (- 12 y) + y \cdot 36 - 6 (y^{2} + 24))}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Schritt 6.6.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{9 (y^{3} - 12 y \cdot y + y \cdot 36 - 6 (y^{2} + 24))}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Schritt 6.6.3

Bringe $36$ auf die linke Seite von $y$ .

$\frac{9 (y^{3} - 12 y \cdot y + 36 \cdot y - 6 (y^{2} + 24))}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Schritt 6.7

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.7.1

Bewege $y$ .

$\frac{9 (y^{3} - 12 (y \cdot y) + 36 \cdot y - 6 (y^{2} + 24))}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Schritt 6.7.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$\frac{9 (y^{3} - 12 y^{2} + 36 \cdot y - 6 (y^{2} + 24))}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

$\frac{9 (y^{3} - 12 y^{2} + 36 y - 6 (y^{2} + 24))}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Schritt 6.8

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{9 (y^{3} - 12 y^{2} + 36 y - 6 y^{2} - 6 \cdot 24)}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Schritt 6.9

Mutltipliziere $- 6$ mit $24$ .

$\frac{9 (y^{3} - 12 y^{2} + 36 y - 6 y^{2} - 144)}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Schritt 6.10

Subtrahiere $6 y^{2}$ von $- 12 y^{2}$ .

$\frac{9 (y^{3} - 18 y^{2} + 36 y - 144)}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$