Grundlegende Mathematik Beispiele

$\frac{a + 3}{a^{2} - 1} - \frac{1}{a^{2} + a}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{a + 3}{a^{2} - 1^{2}} - \frac{1}{a^{2} + a}$

Schritt 1.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = a$ und $b = 1$ .

$\frac{a + 3}{(a + 1) (a - 1)} - \frac{1}{a^{2} + a}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $a$ aus $a^{2} + a$ heraus.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $a$ aus $a^{2}$ heraus.

$\frac{a + 3}{(a + 1) (a - 1)} - \frac{1}{a \cdot a + a}$

Schritt 1.2.2

Potenziere $a$ mit $1$ .

$\frac{a + 3}{(a + 1) (a - 1)} - \frac{1}{a \cdot a + a^{1}}$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $a$ aus $a^{1}$ heraus.

$\frac{a + 3}{(a + 1) (a - 1)} - \frac{1}{a \cdot a + a \cdot 1}$

Schritt 1.2.4

Faktorisiere $a$ aus $a \cdot a + a \cdot 1$ heraus.

$\frac{a + 3}{(a + 1) (a - 1)} - \frac{1}{a (a + 1)}$

Schritt 2

Um $\frac{a + 3}{(a + 1) (a - 1)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{a}{a}$ .

$\frac{a + 3}{(a + 1) (a - 1)} \cdot \frac{a}{a} - \frac{1}{a (a + 1)}$

Schritt 3

Um $- \frac{1}{a (a + 1)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{a - 1}{a - 1}$ .

$\frac{a + 3}{(a + 1) (a - 1)} \cdot \frac{a}{a} - \frac{1}{a (a + 1)} \cdot \frac{a - 1}{a - 1}$

Schritt 4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(a + 1) (a - 1) a$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{a + 3}{(a + 1) (a - 1)}$ mit $\frac{a}{a}$ .

$\frac{(a + 3) a}{(a + 1) (a - 1) a} - \frac{1}{a (a + 1)} \cdot \frac{a - 1}{a - 1}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{a (a + 1)}$ mit $\frac{a - 1}{a - 1}$ .

$\frac{(a + 3) a}{(a + 1) (a - 1) a} - \frac{a - 1}{a (a + 1) (a - 1)}$

Schritt 4.3

Stelle die Faktoren von $(a + 1) (a - 1) a$ um.

$\frac{(a + 3) a}{a (a + 1) (a - 1)} - \frac{a - 1}{a (a + 1) (a - 1)}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(a + 3) a - (a - 1)}{a (a + 1) (a - 1)}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a \cdot a + 3 a - (a - 1)}{a (a + 1) (a - 1)}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$\frac{a^{2} + 3 a - (a - 1)}{a (a + 1) (a - 1)}$

Schritt 6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a^{2} + 3 a - a - - 1}{a (a + 1) (a - 1)}$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{a^{2} + 3 a - a + 1}{a (a + 1) (a - 1)}$

Schritt 6.5

Subtrahiere $a$ von $3 a$ .

$\frac{a^{2} + 2 a + 1}{a (a + 1) (a - 1)}$

Schritt 6.6

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 6.6.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{a^{2} + 2 a + 1^{2}}{a (a + 1) (a - 1)}$

Schritt 6.6.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 a = 2 \cdot a \cdot 1$

Schritt 6.6.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{a^{2} + 2 \cdot a \cdot 1 + 1^{2}}{a (a + 1) (a - 1)}$

Schritt 6.6.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = a$ und $b = 1$ .

$\frac{{(a + 1)}^{2}}{a (a + 1) (a - 1)}$

Schritt 7

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(a + 1)}^{2}$ und $a + 1$ .

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Schritt 7.1

Faktorisiere $a + 1$ aus ${(a + 1)}^{2}$ heraus.

$\frac{(a + 1) (a + 1)}{a (a + 1) (a - 1)}$

Schritt 7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.1

Faktorisiere $a + 1$ aus $a (a + 1) (a - 1)$ heraus.

$\frac{(a + 1) (a + 1)}{(a + 1) (a (a - 1))}$

Schritt 7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(a + 1) (a + 1)}{(a + 1) (a (a - 1))}$

Schritt 7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{a + 1}{a (a - 1)}$