Grundlegende Mathematik Beispiele

$\frac{5 r}{r^{2} + 2 r - 35} - \frac{r}{r^{2} - 49}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $r^{2} + 2 r - 35$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 35$ und deren Summe $2$ ist.

$- 5, 7$

Schritt 1.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{5 r}{(r - 5) (r + 7)} - \frac{r}{r^{2} - 49}$

Schritt 1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.1

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

$\frac{5 r}{(r - 5) (r + 7)} - \frac{r}{r^{2} - 7^{2}}$

Schritt 1.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = r$ und $b = 7$ .

$\frac{5 r}{(r - 5) (r + 7)} - \frac{r}{(r + 7) (r - 7)}$

Schritt 2

Um $\frac{5 r}{(r - 5) (r + 7)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{r - 7}{r - 7}$ .

$\frac{5 r}{(r - 5) (r + 7)} \cdot \frac{r - 7}{r - 7} - \frac{r}{(r + 7) (r - 7)}$

Schritt 3

Um $- \frac{r}{(r + 7) (r - 7)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{r - 5}{r - 5}$ .

$\frac{5 r}{(r - 5) (r + 7)} \cdot \frac{r - 7}{r - 7} - \frac{r}{(r + 7) (r - 7)} \cdot \frac{r - 5}{r - 5}$

Schritt 4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(r - 5) (r + 7) (r - 7)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{5 r}{(r - 5) (r + 7)}$ mit $\frac{r - 7}{r - 7}$ .

$\frac{5 r (r - 7)}{(r - 5) (r + 7) (r - 7)} - \frac{r}{(r + 7) (r - 7)} \cdot \frac{r - 5}{r - 5}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{r}{(r + 7) (r - 7)}$ mit $\frac{r - 5}{r - 5}$ .

$\frac{5 r (r - 7)}{(r - 5) (r + 7) (r - 7)} - \frac{r (r - 5)}{(r + 7) (r - 7) (r - 5)}$

Schritt 4.3

Stelle die Faktoren von $(r - 5) (r + 7) (r - 7)$ um.

$\frac{5 r (r - 7)}{(r + 7) (r - 5) (r - 7)} - \frac{r (r - 5)}{(r + 7) (r - 7) (r - 5)}$

Schritt 4.4

Stelle die Faktoren von $(r + 7) (r - 7) (r - 5)$ um.

$\frac{5 r (r - 7)}{(r + 7) (r - 5) (r - 7)} - \frac{r (r - 5)}{(r + 7) (r - 5) (r - 7)}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5 r (r - 7) - r (r - 5)}{(r + 7) (r - 5) (r - 7)}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $r$ aus $5 r (r - 7) - r (r - 5)$ heraus.

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere $r$ aus $5 r (r - 7)$ heraus.

$\frac{r (5 (r - 7)) - r (r - 5)}{(r + 7) (r - 5) (r - 7)}$

Schritt 6.1.2

Faktorisiere $r$ aus $- r (r - 5)$ heraus.

$\frac{r (5 (r - 7)) + r (- (r - 5))}{(r + 7) (r - 5) (r - 7)}$

Schritt 6.1.3

Faktorisiere $r$ aus $r (5 (r - 7)) + r (- (r - 5))$ heraus.

$\frac{r (5 (r - 7) - (r - 5))}{(r + 7) (r - 5) (r - 7)}$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{r (5 r + 5 \cdot - 7 - (r - 5))}{(r + 7) (r - 5) (r - 7)}$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 7$ .

$\frac{r (5 r - 35 - (r - 5))}{(r + 7) (r - 5) (r - 7)}$

Schritt 6.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{r (5 r - 35 - r - - 5)}{(r + 7) (r - 5) (r - 7)}$

Schritt 6.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$\frac{r (5 r - 35 - r + 5)}{(r + 7) (r - 5) (r - 7)}$

Schritt 6.6

Subtrahiere $r$ von $5 r$ .

$\frac{r (4 r - 35 + 5)}{(r + 7) (r - 5) (r - 7)}$

Schritt 6.7

Addiere $- 35$ und $5$ .

$\frac{r (4 r - 30)}{(r + 7) (r - 5) (r - 7)}$

Schritt 6.8

Faktorisiere $2$ aus $4 r - 30$ heraus.

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Schritt 6.8.1

Faktorisiere $2$ aus $4 r$ heraus.

$\frac{r (2 (2 r) - 30)}{(r + 7) (r - 5) (r - 7)}$

Schritt 6.8.2

Faktorisiere $2$ aus $- 30$ heraus.

$\frac{r (2 (2 r) + 2 (- 15))}{(r + 7) (r - 5) (r - 7)}$

Schritt 6.8.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 r) + 2 (- 15)$ heraus.

$\frac{r (2 (2 r - 15))}{(r + 7) (r - 5) (r - 7)}$

$\frac{r \cdot 2 (2 r - 15)}{(r + 7) (r - 5) (r - 7)}$

Schritt 7

Bringe $2$ auf die linke Seite von $r$ .

$\frac{2 r (2 r - 15)}{(r + 7) (r - 5) (r - 7)}$