Grundlegende Mathematik Beispiele

$\frac{6}{c + 3} + \frac{3}{c^{2} - 3 c + 9} - \frac{162}{c^{3} + 27}$

Schritt 1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1

Schreibe $27$ als $3^{3}$ um.

$\frac{6}{c + 3} + \frac{3}{c^{2} - 3 c + 9} - \frac{162}{c^{3} + 3^{3}}$

Schritt 1.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = c$ und $b = 3$ .

$\frac{6}{c + 3} + \frac{3}{c^{2} - 3 c + 9} - \frac{162}{(c + 3) (c^{2} - c \cdot 3 + 3^{2})}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{6}{c + 3} + \frac{3}{c^{2} - 3 c + 9} - \frac{162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 3^{2})}$

Schritt 1.3.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{6}{c + 3} + \frac{3}{c^{2} - 3 c + 9} - \frac{162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Schritt 2

Um $\frac{6}{c + 3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{c^{2} - 3 c + 9}{c^{2} - 3 c + 9}$ .

$\frac{6}{c + 3} \cdot \frac{c^{2} - 3 c + 9}{c^{2} - 3 c + 9} + \frac{3}{c^{2} - 3 c + 9} - \frac{162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Schritt 3

Um $\frac{3}{c^{2} - 3 c + 9}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{c + 3}{c + 3}$ .

$\frac{6}{c + 3} \cdot \frac{c^{2} - 3 c + 9}{c^{2} - 3 c + 9} + \frac{3}{c^{2} - 3 c + 9} \cdot \frac{c + 3}{c + 3} - \frac{162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Schritt 4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{6}{c + 3}$ mit $\frac{c^{2} - 3 c + 9}{c^{2} - 3 c + 9}$ .

$\frac{6 (c^{2} - 3 c + 9)}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)} + \frac{3}{c^{2} - 3 c + 9} \cdot \frac{c + 3}{c + 3} - \frac{162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{3}{c^{2} - 3 c + 9}$ mit $\frac{c + 3}{c + 3}$ .

$\frac{6 (c^{2} - 3 c + 9)}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)} + \frac{3 (c + 3)}{(c^{2} - 3 c + 9) (c + 3)} - \frac{162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Schritt 4.3

Stelle die Faktoren von $(c^{2} - 3 c + 9) (c + 3)$ um.

$\frac{6 (c^{2} - 3 c + 9)}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)} + \frac{3 (c + 3)}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)} - \frac{162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{6 (c^{2} - 3 c + 9) + 3 (c + 3)}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)} - \frac{162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{6 (c^{2} - 3 c + 9) + 3 (c + 3) - 162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 c^{2} + 6 (- 3 c) + 6 \cdot 9 + 3 (c + 3) - 162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Schritt 7.1.2

Vereinfache.

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Schritt 7.1.2.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $6$ .

$\frac{6 c^{2} - 18 c + 6 \cdot 9 + 3 (c + 3) - 162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Schritt 7.1.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $9$ .

$\frac{6 c^{2} - 18 c + 54 + 3 (c + 3) - 162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Schritt 7.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 c^{2} - 18 c + 54 + 3 c + 3 \cdot 3 - 162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Schritt 7.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{6 c^{2} - 18 c + 54 + 3 c + 9 - 162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Schritt 7.2

Addiere $- 18 c$ und $3 c$ .

$\frac{6 c^{2} - 15 c + 54 + 9 - 162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Schritt 7.3

Addiere $54$ und $9$ .

$\frac{6 c^{2} - 15 c + 63 - 162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Schritt 7.4

Subtrahiere $162$ von $63$ .

$\frac{6 c^{2} - 15 c - 99}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Schritt 8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1

Faktorisiere $3$ aus $6 c^{2} - 15 c - 99$ heraus.

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Schritt 8.1.1

Faktorisiere $3$ aus $6 c^{2}$ heraus.

$\frac{3 (2 c^{2}) - 15 c - 99}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Schritt 8.1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 15 c$ heraus.

$\frac{3 (2 c^{2}) + 3 (- 5 c) - 99}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Schritt 8.1.3

Faktorisiere $3$ aus $- 99$ heraus.

$\frac{3 (2 c^{2}) + 3 (- 5 c) + 3 (- 33)}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Schritt 8.1.4

Faktorisiere $3$ aus $3 (2 c^{2}) + 3 (- 5 c)$ heraus.

$\frac{3 (2 c^{2} - 5 c) + 3 (- 33)}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Schritt 8.1.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (2 c^{2} - 5 c) + 3 (- 33)$ heraus.

$\frac{3 (2 c^{2} - 5 c - 33)}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Schritt 8.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 8.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 33 = - 66$ und deren Summe gleich $b = - 5$ ist.

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Schritt 8.2.1.1

Faktorisiere $- 5$ aus $- 5 c$ heraus.

$\frac{3 (2 c^{2} - 5 (c) - 33)}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Schritt 8.2.1.2

Schreibe $- 5$ um als $6$ plus $- 11$

$\frac{3 (2 c^{2} + (6 - 11) c - 33)}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Schritt 8.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (2 c^{2} + 6 c - 11 c - 33)}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Schritt 8.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 8.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{3 ((2 c^{2} + 6 c) - 11 c - 33)}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Schritt 8.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{3 (2 c (c + 3) - 11 (c + 3))}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Schritt 8.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $c + 3$ .

$\frac{3 ((c + 3) (2 c - 11))}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

$\frac{3 (c + 3) (2 c - 11)}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Schritt 9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $c + 3$ .

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Schritt 9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (c + 3) (2 c - 11)}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Schritt 9.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 (2 c - 11)}{c^{2} - 3 c + 9}$