Grundlegende Mathematik Beispiele

$\frac{6 π}{π^{2} - 1} - \frac{3}{π^{2} - π - 2}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{6 π}{π^{2} - 1^{2}} - \frac{3}{π^{2} - π - 2}$

Schritt 1.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = π$ und $b = 1$ .

$\frac{6 π}{(π + 1) (π - 1)} - \frac{3}{π^{2} - π - 2}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $π^{2} - π - 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 2$ und deren Summe $- 1$ ist.

$- 2, 1$

Schritt 1.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{6 π}{(π + 1) (π - 1)} - \frac{3}{(π - 2) (π + 1)}$

Schritt 2

Um $\frac{6 π}{(π + 1) (π - 1)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{π - 2}{π - 2}$ .

$\frac{6 π}{(π + 1) (π - 1)} \cdot \frac{π - 2}{π - 2} - \frac{3}{(π - 2) (π + 1)}$

Schritt 3

Um $- \frac{3}{(π - 2) (π + 1)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{π - 1}{π - 1}$ .

$\frac{6 π}{(π + 1) (π - 1)} \cdot \frac{π - 2}{π - 2} - \frac{3}{(π - 2) (π + 1)} \cdot \frac{π - 1}{π - 1}$

Schritt 4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(π + 1) (π - 1) (π - 2)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{6 π}{(π + 1) (π - 1)}$ mit $\frac{π - 2}{π - 2}$ .

$\frac{6 π (π - 2)}{(π + 1) (π - 1) (π - 2)} - \frac{3}{(π - 2) (π + 1)} \cdot \frac{π - 1}{π - 1}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{3}{(π - 2) (π + 1)}$ mit $\frac{π - 1}{π - 1}$ .

$\frac{6 π (π - 2)}{(π + 1) (π - 1) (π - 2)} - \frac{3 (π - 1)}{(π - 2) (π + 1) (π - 1)}$

Schritt 4.3

Stelle die Faktoren von $(π - 2) (π + 1) (π - 1)$ um.

$\frac{6 π (π - 2)}{(π + 1) (π - 1) (π - 2)} - \frac{3 (π - 1)}{(π + 1) (π - 1) (π - 2)}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{6 π (π - 2) - 3 (π - 1)}{(π + 1) (π - 1) (π - 2)}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 π π + 6 π \cdot - 2 - 3 (π - 1)}{(π + 1) (π - 1) (π - 2)}$

Schritt 6.2

Multipliziere $6 π π$ .

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Schritt 6.2.1

Potenziere $π$ mit $1$ .

$\frac{6 (π^{1} π) + 6 π \cdot - 2 - 3 (π - 1)}{(π + 1) (π - 1) (π - 2)}$

Schritt 6.2.2

Potenziere $π$ mit $1$ .

$\frac{6 (π^{1} π^{1}) + 6 π \cdot - 2 - 3 (π - 1)}{(π + 1) (π - 1) (π - 2)}$

Schritt 6.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{6 π^{1 + 1} + 6 π \cdot - 2 - 3 (π - 1)}{(π + 1) (π - 1) (π - 2)}$

Schritt 6.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{6 π^{2} + 6 π \cdot - 2 - 3 (π - 1)}{(π + 1) (π - 1) (π - 2)}$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $6$ .

$\frac{6 π^{2} - 12 π - 3 (π - 1)}{(π + 1) (π - 1) (π - 2)}$

Schritt 6.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 π^{2} - 12 π - 3 π - 3 \cdot - 1}{(π + 1) (π - 1) (π - 2)}$

Schritt 6.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$\frac{6 π^{2} - 12 π - 3 π + 3}{(π + 1) (π - 1) (π - 2)}$

Schritt 6.6

Subtrahiere $3 π$ von $- 12 π$ .

$\frac{6 π^{2} - 15 π + 3}{(π + 1) (π - 1) (π - 2)}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{6 π^{2} - 15 π + 3}{(π + 1) (π - 1) (π - 2)}$

Dezimalform:

$1.49066945 \dots$