Grundlegende Mathematik Beispiele

$\frac{3 z^{2} - 7 z - 20}{z + 7} \div \frac{z^{2} + 14 z + 49}{3 z^{2} + 26 z + 35}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{3 z^{2} - 7 z - 20}{z + 7} \cdot \frac{3 z^{2} + 26 z + 35}{z^{2} + 14 z + 49}$

Schritt 2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot - 20 = - 60$ und deren Summe gleich $b = - 7$ ist.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $- 7$ aus $- 7 z$ heraus.

$\frac{3 z^{2} - 7 (z) - 20}{z + 7} \cdot \frac{3 z^{2} + 26 z + 35}{z^{2} + 14 z + 49}$

Schritt 2.1.2

Schreibe $- 7$ um als $5$ plus $- 12$

$\frac{3 z^{2} + (5 - 12) z - 20}{z + 7} \cdot \frac{3 z^{2} + 26 z + 35}{z^{2} + 14 z + 49}$

Schritt 2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 z^{2} + 5 z - 12 z - 20}{z + 7} \cdot \frac{3 z^{2} + 26 z + 35}{z^{2} + 14 z + 49}$

Schritt 2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(3 z^{2} + 5 z) - 12 z - 20}{z + 7} \cdot \frac{3 z^{2} + 26 z + 35}{z^{2} + 14 z + 49}$

Schritt 2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{z (3 z + 5) - 4 (3 z + 5)}{z + 7} \cdot \frac{3 z^{2} + 26 z + 35}{z^{2} + 14 z + 49}$

Schritt 2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 z + 5$ .

$\frac{(3 z + 5) (z - 4)}{z + 7} \cdot \frac{3 z^{2} + 26 z + 35}{z^{2} + 14 z + 49}$

Schritt 3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot 35 = 105$ und deren Summe gleich $b = 26$ ist.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $26$ aus $26 z$ heraus.

$\frac{(3 z + 5) (z - 4)}{z + 7} \cdot \frac{3 z^{2} + 26 (z) + 35}{z^{2} + 14 z + 49}$

Schritt 3.1.2

Schreibe $26$ um als $5$ plus $21$

$\frac{(3 z + 5) (z - 4)}{z + 7} \cdot \frac{3 z^{2} + (5 + 21) z + 35}{z^{2} + 14 z + 49}$

Schritt 3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(3 z + 5) (z - 4)}{z + 7} \cdot \frac{3 z^{2} + 5 z + 21 z + 35}{z^{2} + 14 z + 49}$

Schritt 3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(3 z + 5) (z - 4)}{z + 7} \cdot \frac{(3 z^{2} + 5 z) + 21 z + 35}{z^{2} + 14 z + 49}$

Schritt 3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{(3 z + 5) (z - 4)}{z + 7} \cdot \frac{z (3 z + 5) + 7 (3 z + 5)}{z^{2} + 14 z + 49}$

Schritt 3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 z + 5$ .

$\frac{(3 z + 5) (z - 4)}{z + 7} \cdot \frac{(3 z + 5) (z + 7)}{z^{2} + 14 z + 49}$

Schritt 4

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 4.1

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

$\frac{(3 z + 5) (z - 4)}{z + 7} \cdot \frac{(3 z + 5) (z + 7)}{z^{2} + 14 z + 7^{2}}$

Schritt 4.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$14 z = 2 \cdot z \cdot 7$

Schritt 4.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{(3 z + 5) (z - 4)}{z + 7} \cdot \frac{(3 z + 5) (z + 7)}{z^{2} + 2 \cdot z \cdot 7 + 7^{2}}$

Schritt 4.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = z$ und $b = 7$ .

$\frac{(3 z + 5) (z - 4)}{z + 7} \cdot \frac{(3 z + 5) (z + 7)}{{(z + 7)}^{2}}$

Schritt 5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $z + 7$ .

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Schritt 5.1

Faktorisiere $z + 7$ aus $(3 z + 5) (z + 7)$ heraus.

$\frac{(3 z + 5) (z - 4)}{z + 7} \cdot \frac{(z + 7) (3 z + 5)}{{(z + 7)}^{2}}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(3 z + 5) (z - 4)}{z + 7} \cdot \frac{(z + 7) (3 z + 5)}{{(z + 7)}^{2}}$

Schritt 5.3

Forme den Ausdruck um.

$(3 z + 5) (z - 4) \frac{3 z + 5}{{(z + 7)}^{2}}$

Schritt 6

Multipliziere $(3 z + 5) (z - 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(3 z (z - 4) + 5 (z - 4)) \frac{3 z + 5}{{(z + 7)}^{2}}$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(3 z \cdot z + 3 z \cdot - 4 + 5 (z - 4)) \frac{3 z + 5}{{(z + 7)}^{2}}$

Schritt 6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(3 z \cdot z + 3 z \cdot - 4 + 5 z + 5 \cdot - 4) \frac{3 z + 5}{{(z + 7)}^{2}}$

Schritt 7

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1.1

Multipliziere $z$ mit $z$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.1.1.1

Bewege $z$ .

$(3 (z \cdot z) + 3 z \cdot - 4 + 5 z + 5 \cdot - 4) \frac{3 z + 5}{{(z + 7)}^{2}}$

Schritt 7.1.1.2

Mutltipliziere $z$ mit $z$ .

$(3 z^{2} + 3 z \cdot - 4 + 5 z + 5 \cdot - 4) \frac{3 z + 5}{{(z + 7)}^{2}}$

Schritt 7.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$(3 z^{2} - 12 z + 5 z + 5 \cdot - 4) \frac{3 z + 5}{{(z + 7)}^{2}}$

Schritt 7.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 4$ .

$(3 z^{2} - 12 z + 5 z - 20) \frac{3 z + 5}{{(z + 7)}^{2}}$

Schritt 7.2

Addiere $- 12 z$ und $5 z$ .

$(3 z^{2} - 7 z - 20) \frac{3 z + 5}{{(z + 7)}^{2}}$

Schritt 8

Mutltipliziere $3 z^{2} - 7 z - 20$ mit $\frac{3 z + 5}{{(z + 7)}^{2}}$ .

$\frac{(3 z^{2} - 7 z - 20) (3 z + 5)}{{(z + 7)}^{2}}$

Schritt 9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 9.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot - 20 = - 60$ und deren Summe gleich $b = - 7$ ist.

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Schritt 9.1.1.1

Faktorisiere $- 7$ aus $- 7 z$ heraus.

$\frac{(3 z^{2} - 7 (z) - 20) (3 z + 5)}{{(z + 7)}^{2}}$

Schritt 9.1.1.2

Schreibe $- 7$ um als $5$ plus $- 12$

$\frac{(3 z^{2} + (5 - 12) z - 20) (3 z + 5)}{{(z + 7)}^{2}}$

Schritt 9.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(3 z^{2} + 5 z - 12 z - 20) (3 z + 5)}{{(z + 7)}^{2}}$

Schritt 9.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 9.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{((3 z^{2} + 5 z) - 12 z - 20) (3 z + 5)}{{(z + 7)}^{2}}$

Schritt 9.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{(z (3 z + 5) - 4 (3 z + 5)) (3 z + 5)}{{(z + 7)}^{2}}$

Schritt 9.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 z + 5$ .

$\frac{(3 z + 5) (z - 4) (3 z + 5)}{{(z + 7)}^{2}}$

Schritt 9.2

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 9.2.1

Potenziere $3 z + 5$ mit $1$ .

$\frac{{(3 z + 5)}^{1} (3 z + 5) (z - 4)}{{(z + 7)}^{2}}$

Schritt 9.2.2

Potenziere $3 z + 5$ mit $1$ .

$\frac{{(3 z + 5)}^{1} {(3 z + 5)}^{1} (z - 4)}{{(z + 7)}^{2}}$

Schritt 9.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{(3 z + 5)}^{1 + 1} (z - 4)}{{(z + 7)}^{2}}$

Schritt 9.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{{(3 z + 5)}^{2} (z - 4)}{{(z + 7)}^{2}}$