Grundlegende Mathematik Beispiele

$\frac{3 z^{2} - 2 z - 5}{z^{2} + 6 z + 5} \div \frac{10 z^{2} \cdot (9 z) - 9}{2 z^{2} + 13 z + 15}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{3 z^{2} - 2 z - 5}{z^{2} + 6 z + 5} \cdot \frac{2 z^{2} + 13 z + 15}{10 z^{2} \cdot (9 z) - 9}$

Schritt 2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot - 5 = - 15$ und deren Summe gleich $b = - 2$ ist.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 z$ heraus.

$\frac{3 z^{2} - 2 (z) - 5}{z^{2} + 6 z + 5} \cdot \frac{2 z^{2} + 13 z + 15}{10 z^{2} \cdot (9 z) - 9}$

Schritt 2.1.2

Schreibe $- 2$ um als $3$ plus $- 5$

$\frac{3 z^{2} + (3 - 5) z - 5}{z^{2} + 6 z + 5} \cdot \frac{2 z^{2} + 13 z + 15}{10 z^{2} \cdot (9 z) - 9}$

Schritt 2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 z^{2} + 3 z - 5 z - 5}{z^{2} + 6 z + 5} \cdot \frac{2 z^{2} + 13 z + 15}{10 z^{2} \cdot (9 z) - 9}$

Schritt 2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(3 z^{2} + 3 z) - 5 z - 5}{z^{2} + 6 z + 5} \cdot \frac{2 z^{2} + 13 z + 15}{10 z^{2} \cdot (9 z) - 9}$

Schritt 2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{3 z (z + 1) - 5 (z + 1)}{z^{2} + 6 z + 5} \cdot \frac{2 z^{2} + 13 z + 15}{10 z^{2} \cdot (9 z) - 9}$

Schritt 2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $z + 1$ .

$\frac{(z + 1) (3 z - 5)}{z^{2} + 6 z + 5} \cdot \frac{2 z^{2} + 13 z + 15}{10 z^{2} \cdot (9 z) - 9}$

Schritt 3

Faktorisiere $z^{2} + 6 z + 5$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $5$ und deren Summe $6$ ist.

$1, 5$

Schritt 3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(z + 1) (3 z - 5)}{(z + 1) (z + 5)} \cdot \frac{2 z^{2} + 13 z + 15}{10 z^{2} \cdot (9 z) - 9}$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $z + 1$ .

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(z + 1) (3 z - 5)}{(z + 1) (z + 5)} \cdot \frac{2 z^{2} + 13 z + 15}{10 z^{2} \cdot (9 z) - 9}$

Schritt 4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 z - 5}{z + 5} \cdot \frac{2 z^{2} + 13 z + 15}{10 z^{2} \cdot (9 z) - 9}$

Schritt 5

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 5.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot 15 = 30$ und deren Summe gleich $b = 13$ ist.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $13$ aus $13 z$ heraus.

$\frac{3 z - 5}{z + 5} \cdot \frac{2 z^{2} + 13 (z) + 15}{10 z^{2} \cdot (9 z) - 9}$

Schritt 5.1.2

Schreibe $13$ um als $3$ plus $10$

$\frac{3 z - 5}{z + 5} \cdot \frac{2 z^{2} + (3 + 10) z + 15}{10 z^{2} \cdot (9 z) - 9}$

Schritt 5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 z - 5}{z + 5} \cdot \frac{2 z^{2} + 3 z + 10 z + 15}{10 z^{2} \cdot (9 z) - 9}$

Schritt 5.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 5.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{3 z - 5}{z + 5} \cdot \frac{(2 z^{2} + 3 z) + 10 z + 15}{10 z^{2} \cdot (9 z) - 9}$

Schritt 5.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{3 z - 5}{z + 5} \cdot \frac{z (2 z + 3) + 5 (2 z + 3)}{10 z^{2} \cdot (9 z) - 9}$

Schritt 5.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 z + 3$ .

$\frac{3 z - 5}{z + 5} \cdot \frac{(2 z + 3) (z + 5)}{10 z^{2} \cdot (9 z) - 9}$

Schritt 6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $9$ aus $10 z^{2} \cdot (9 z) - 9$ heraus.

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere $9$ aus $10 z^{2} \cdot (9 z)$ heraus.

$\frac{3 z - 5}{z + 5} \cdot \frac{(2 z + 3) (z + 5)}{9 (10 z^{2} \cdot (z)) - 9}$

Schritt 6.1.2

Faktorisiere $9$ aus $- 9$ heraus.

$\frac{3 z - 5}{z + 5} \cdot \frac{(2 z + 3) (z + 5)}{9 (10 z^{2} \cdot (z)) + 9 (- 1)}$

Schritt 6.1.3

Faktorisiere $9$ aus $9 (10 z^{2} \cdot (z)) + 9 (- 1)$ heraus.

$\frac{3 z - 5}{z + 5} \cdot \frac{(2 z + 3) (z + 5)}{9 (10 z^{2} \cdot (z) - 1)}$

Schritt 6.2

Multipliziere $z^{2}$ mit $z$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.2.1

Bewege $z$ .

$\frac{3 z - 5}{z + 5} \cdot \frac{(2 z + 3) (z + 5)}{9 (10 (z \cdot z^{2}) - 1)}$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $z$ mit $z^{2}$ .

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Schritt 6.2.2.1

Potenziere $z$ mit $1$ .

$\frac{3 z - 5}{z + 5} \cdot \frac{(2 z + 3) (z + 5)}{9 (10 (z^{1} z^{2}) - 1)}$

Schritt 6.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 z - 5}{z + 5} \cdot \frac{(2 z + 3) (z + 5)}{9 (10 z^{1 + 2} - 1)}$

Schritt 6.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{3 z - 5}{z + 5} \cdot \frac{(2 z + 3) (z + 5)}{9 (10 z^{3} - 1)}$

Schritt 7

Vereinfache Terme.

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Schritt 7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $z + 5$ .

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Schritt 7.1.1

Faktorisiere $z + 5$ aus $(2 z + 3) (z + 5)$ heraus.

$\frac{3 z - 5}{z + 5} \cdot \frac{(z + 5) (2 z + 3)}{9 (10 z^{3} - 1)}$

Schritt 7.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 z - 5}{z + 5} \cdot \frac{(z + 5) (2 z + 3)}{9 (10 z^{3} - 1)}$

Schritt 7.1.3

Forme den Ausdruck um.

$(3 z - 5) \frac{2 z + 3}{9 (10 z^{3} - 1)}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $3 z - 5$ mit $\frac{2 z + 3}{9 (10 z^{3} - 1)}$ .

$\frac{(3 z - 5) (2 z + 3)}{9 (10 z^{3} - 1)}$