Grundlegende Mathematik Beispiele

$\frac{3 p^{2} - 5 p - 2}{y^{2} + y - 2} \cdot \frac{y^{2} + 5 y - 6}{15 p^{2} + 8 p + 1} \div \frac{7 p^{2} - 13 p - 2}{10 p^{2} - 13 p - 3}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{3 p^{2} - 5 p - 2}{y^{2} + y - 2} \cdot \frac{y^{2} + 5 y - 6}{15 p^{2} + 8 p + 1} \frac{10 p^{2} - 13 p - 3}{7 p^{2} - 13 p - 2}$

Schritt 2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot - 2 = - 6$ und deren Summe gleich $b = - 5$ ist.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $- 5$ aus $- 5 p$ heraus.

$\frac{3 p^{2} - 5 (p) - 2}{y^{2} + y - 2} \cdot \frac{y^{2} + 5 y - 6}{15 p^{2} + 8 p + 1} \frac{10 p^{2} - 13 p - 3}{7 p^{2} - 13 p - 2}$

Schritt 2.1.2

Schreibe $- 5$ um als $1$ plus $- 6$

$\frac{3 p^{2} + (1 - 6) p - 2}{y^{2} + y - 2} \cdot \frac{y^{2} + 5 y - 6}{15 p^{2} + 8 p + 1} \frac{10 p^{2} - 13 p - 3}{7 p^{2} - 13 p - 2}$

Schritt 2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 p^{2} + 1 p - 6 p - 2}{y^{2} + y - 2} \cdot \frac{y^{2} + 5 y - 6}{15 p^{2} + 8 p + 1} \frac{10 p^{2} - 13 p - 3}{7 p^{2} - 13 p - 2}$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $p$ mit $1$ .

$\frac{3 p^{2} + p - 6 p - 2}{y^{2} + y - 2} \cdot \frac{y^{2} + 5 y - 6}{15 p^{2} + 8 p + 1} \frac{10 p^{2} - 13 p - 3}{7 p^{2} - 13 p - 2}$

Schritt 2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(3 p^{2} + p) - 6 p - 2}{y^{2} + y - 2} \cdot \frac{y^{2} + 5 y - 6}{15 p^{2} + 8 p + 1} \frac{10 p^{2} - 13 p - 3}{7 p^{2} - 13 p - 2}$

Schritt 2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{p (3 p + 1) - 2 (3 p + 1)}{y^{2} + y - 2} \cdot \frac{y^{2} + 5 y - 6}{15 p^{2} + 8 p + 1} \frac{10 p^{2} - 13 p - 3}{7 p^{2} - 13 p - 2}$

Schritt 2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 p + 1$ .

$\frac{(3 p + 1) (p - 2)}{y^{2} + y - 2} \cdot \frac{y^{2} + 5 y - 6}{15 p^{2} + 8 p + 1} \frac{10 p^{2} - 13 p - 3}{7 p^{2} - 13 p - 2}$

Schritt 3

Faktorisiere $y^{2} + y - 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 2$ und deren Summe $1$ ist.

$- 1, 2$

Schritt 3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(3 p + 1) (p - 2)}{(y - 1) (y + 2)} \cdot \frac{y^{2} + 5 y - 6}{15 p^{2} + 8 p + 1} \frac{10 p^{2} - 13 p - 3}{7 p^{2} - 13 p - 2}$

Schritt 4

Faktorisiere $y^{2} + 5 y - 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 6$ und deren Summe $5$ ist.

$- 1, 6$

Schritt 4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(3 p + 1) (p - 2)}{(y - 1) (y + 2)} \cdot \frac{(y - 1) (y + 6)}{15 p^{2} + 8 p + 1} \frac{10 p^{2} - 13 p - 3}{7 p^{2} - 13 p - 2}$

Schritt 5

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 5.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 15 \cdot 1 = 15$ und deren Summe gleich $b = 8$ ist.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $8$ aus $8 p$ heraus.

$\frac{(3 p + 1) (p - 2)}{(y - 1) (y + 2)} \cdot \frac{(y - 1) (y + 6)}{15 p^{2} + 8 (p) + 1} \frac{10 p^{2} - 13 p - 3}{7 p^{2} - 13 p - 2}$

Schritt 5.1.2

Schreibe $8$ um als $3$ plus $5$

$\frac{(3 p + 1) (p - 2)}{(y - 1) (y + 2)} \cdot \frac{(y - 1) (y + 6)}{15 p^{2} + (3 + 5) p + 1} \frac{10 p^{2} - 13 p - 3}{7 p^{2} - 13 p - 2}$

Schritt 5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(3 p + 1) (p - 2)}{(y - 1) (y + 2)} \cdot \frac{(y - 1) (y + 6)}{15 p^{2} + 3 p + 5 p + 1} \frac{10 p^{2} - 13 p - 3}{7 p^{2} - 13 p - 2}$

Schritt 5.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 5.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(3 p + 1) (p - 2)}{(y - 1) (y + 2)} \cdot \frac{(y - 1) (y + 6)}{(15 p^{2} + 3 p) + 5 p + 1} \frac{10 p^{2} - 13 p - 3}{7 p^{2} - 13 p - 2}$

Schritt 5.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{(3 p + 1) (p - 2)}{(y - 1) (y + 2)} \cdot \frac{(y - 1) (y + 6)}{3 p (5 p + 1) + 1 (5 p + 1)} \frac{10 p^{2} - 13 p - 3}{7 p^{2} - 13 p - 2}$

Schritt 5.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $5 p + 1$ .

$\frac{(3 p + 1) (p - 2)}{(y - 1) (y + 2)} \cdot \frac{(y - 1) (y + 6)}{(5 p + 1) (3 p + 1)} \frac{10 p^{2} - 13 p - 3}{7 p^{2} - 13 p - 2}$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 p + 1$ .

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Schritt 6.1

Faktorisiere $3 p + 1$ aus $(5 p + 1) (3 p + 1)$ heraus.

$\frac{(3 p + 1) (p - 2)}{(y - 1) (y + 2)} \cdot \frac{(y - 1) (y + 6)}{(3 p + 1) (5 p + 1)} \frac{10 p^{2} - 13 p - 3}{7 p^{2} - 13 p - 2}$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(3 p + 1) (p - 2)}{(y - 1) (y + 2)} \cdot \frac{(y - 1) (y + 6)}{(3 p + 1) (5 p + 1)} \frac{10 p^{2} - 13 p - 3}{7 p^{2} - 13 p - 2}$

Schritt 6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{p - 2}{(y - 1) (y + 2)} \cdot \frac{(y - 1) (y + 6)}{5 p + 1} \frac{10 p^{2} - 13 p - 3}{7 p^{2} - 13 p - 2}$

Schritt 7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y - 1$ .

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Schritt 7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{p - 2}{(y - 1) (y + 2)} \cdot \frac{(y - 1) (y + 6)}{5 p + 1} \frac{10 p^{2} - 13 p - 3}{7 p^{2} - 13 p - 2}$

Schritt 7.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{p - 2}{y + 2} \cdot \frac{y + 6}{5 p + 1} \frac{10 p^{2} - 13 p - 3}{7 p^{2} - 13 p - 2}$

Schritt 8

Mutltipliziere $\frac{p - 2}{y + 2}$ mit $\frac{y + 6}{5 p + 1}$ .

$\frac{(p - 2) (y + 6)}{(y + 2) (5 p + 1)} \cdot \frac{10 p^{2} - 13 p - 3}{7 p^{2} - 13 p - 2}$

Schritt 9

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 9.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 10 \cdot - 3 = - 30$ und deren Summe gleich $b = - 13$ ist.

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Schritt 9.1.1

Faktorisiere $- 13$ aus $- 13 p$ heraus.

$\frac{(p - 2) (y + 6)}{(y + 2) (5 p + 1)} \cdot \frac{10 p^{2} - 13 (p) - 3}{7 p^{2} - 13 p - 2}$

Schritt 9.1.2

Schreibe $- 13$ um als $2$ plus $- 15$

$\frac{(p - 2) (y + 6)}{(y + 2) (5 p + 1)} \cdot \frac{10 p^{2} + (2 - 15) p - 3}{7 p^{2} - 13 p - 2}$

Schritt 9.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(p - 2) (y + 6)}{(y + 2) (5 p + 1)} \cdot \frac{10 p^{2} + 2 p - 15 p - 3}{7 p^{2} - 13 p - 2}$

Schritt 9.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 9.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(p - 2) (y + 6)}{(y + 2) (5 p + 1)} \cdot \frac{(10 p^{2} + 2 p) - 15 p - 3}{7 p^{2} - 13 p - 2}$

Schritt 9.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{(p - 2) (y + 6)}{(y + 2) (5 p + 1)} \cdot \frac{2 p (5 p + 1) - 3 (5 p + 1)}{7 p^{2} - 13 p - 2}$

Schritt 9.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $5 p + 1$ .

$\frac{(p - 2) (y + 6)}{(y + 2) (5 p + 1)} \cdot \frac{(5 p + 1) (2 p - 3)}{7 p^{2} - 13 p - 2}$

Schritt 10

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 10.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 7 \cdot - 2 = - 14$ und deren Summe gleich $b = - 13$ ist.

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Schritt 10.1.1

Faktorisiere $- 13$ aus $- 13 p$ heraus.

$\frac{(p - 2) (y + 6)}{(y + 2) (5 p + 1)} \cdot \frac{(5 p + 1) (2 p - 3)}{7 p^{2} - 13 (p) - 2}$

Schritt 10.1.2

Schreibe $- 13$ um als $1$ plus $- 14$

$\frac{(p - 2) (y + 6)}{(y + 2) (5 p + 1)} \cdot \frac{(5 p + 1) (2 p - 3)}{7 p^{2} + (1 - 14) p - 2}$

Schritt 10.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(p - 2) (y + 6)}{(y + 2) (5 p + 1)} \cdot \frac{(5 p + 1) (2 p - 3)}{7 p^{2} + 1 p - 14 p - 2}$

Schritt 10.1.4

Mutltipliziere $p$ mit $1$ .

$\frac{(p - 2) (y + 6)}{(y + 2) (5 p + 1)} \cdot \frac{(5 p + 1) (2 p - 3)}{7 p^{2} + p - 14 p - 2}$

Schritt 10.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 10.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(p - 2) (y + 6)}{(y + 2) (5 p + 1)} \cdot \frac{(5 p + 1) (2 p - 3)}{(7 p^{2} + p) - 14 p - 2}$

Schritt 10.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{(p - 2) (y + 6)}{(y + 2) (5 p + 1)} \cdot \frac{(5 p + 1) (2 p - 3)}{p (7 p + 1) - 2 (7 p + 1)}$

Schritt 10.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $7 p + 1$ .

$\frac{(p - 2) (y + 6)}{(y + 2) (5 p + 1)} \cdot \frac{(5 p + 1) (2 p - 3)}{(7 p + 1) (p - 2)}$

Schritt 11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $p - 2$ .

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Schritt 11.1

Faktorisiere $p - 2$ aus $(7 p + 1) (p - 2)$ heraus.

$\frac{(p - 2) (y + 6)}{(y + 2) (5 p + 1)} \cdot \frac{(5 p + 1) (2 p - 3)}{(p - 2) (7 p + 1)}$

Schritt 11.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(p - 2) (y + 6)}{(y + 2) (5 p + 1)} \cdot \frac{(5 p + 1) (2 p - 3)}{(p - 2) (7 p + 1)}$

Schritt 11.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y + 6}{(y + 2) (5 p + 1)} \cdot \frac{(5 p + 1) (2 p - 3)}{7 p + 1}$

Schritt 12

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5 p + 1$ .

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Schritt 12.1

Faktorisiere $5 p + 1$ aus $(y + 2) (5 p + 1)$ heraus.

$\frac{y + 6}{(5 p + 1) (y + 2)} \cdot \frac{(5 p + 1) (2 p - 3)}{7 p + 1}$

Schritt 12.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y + 6}{(5 p + 1) (y + 2)} \cdot \frac{(5 p + 1) (2 p - 3)}{7 p + 1}$

Schritt 12.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y + 6}{y + 2} \cdot \frac{2 p - 3}{7 p + 1}$

Schritt 13

Mutltipliziere $\frac{y + 6}{y + 2}$ mit $\frac{2 p - 3}{7 p + 1}$ .

$\frac{(y + 6) (2 p - 3)}{(y + 2) (7 p + 1)}$