Grundlegende Mathematik Beispiele

$\frac{3 a^{2} + 12}{3 a^{2} - 15 a} \div \frac{a^{4} - 16}{a^{2} - 3 a - 10}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{3 a^{2} + 12}{3 a^{2} - 15 a} \cdot \frac{a^{2} - 3 a - 10}{a^{4} - 16}$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 a^{2} + 12$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 a^{2}$ heraus.

$\frac{3 (a^{2}) + 12}{3 a^{2} - 15 a} \cdot \frac{a^{2} - 3 a - 10}{a^{4} - 16}$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$\frac{3 a^{2} + 3 \cdot 4}{3 a^{2} - 15 a} \cdot \frac{a^{2} - 3 a - 10}{a^{4} - 16}$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 a^{2} + 3 \cdot 4$ heraus.

$\frac{3 (a^{2} + 4)}{3 a^{2} - 15 a} \cdot \frac{a^{2} - 3 a - 10}{a^{4} - 16}$

Schritt 2.2

Faktorisiere $3 a$ aus $3 a^{2} - 15 a$ heraus.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $3 a$ aus $3 a^{2}$ heraus.

$\frac{3 (a^{2} + 4)}{3 a (a) - 15 a} \cdot \frac{a^{2} - 3 a - 10}{a^{4} - 16}$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere $3 a$ aus $- 15 a$ heraus.

$\frac{3 (a^{2} + 4)}{3 a (a) + 3 a (- 5)} \cdot \frac{a^{2} - 3 a - 10}{a^{4} - 16}$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere $3 a$ aus $3 a (a) + 3 a (- 5)$ heraus.

$\frac{3 (a^{2} + 4)}{3 a (a - 5)} \cdot \frac{a^{2} - 3 a - 10}{a^{4} - 16}$

Schritt 2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (a^{2} + 4)}{3 a (a - 5)} \cdot \frac{a^{2} - 3 a - 10}{a^{4} - 16}$

Schritt 2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{a^{2} + 4}{a (a - 5)} \cdot \frac{a^{2} - 3 a - 10}{a^{4} - 16}$

Schritt 3

Faktorisiere $a^{2} - 3 a - 10$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 10$ und deren Summe $- 3$ ist.

$- 5, 2$

Schritt 3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{a^{2} + 4}{a (a - 5)} \cdot \frac{(a - 5) (a + 2)}{a^{4} - 16}$

Schritt 4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1

Schreibe $a^{4}$ als ${(a^{2})}^{2}$ um.

$\frac{a^{2} + 4}{a (a - 5)} \cdot \frac{(a - 5) (a + 2)}{{(a^{2})}^{2} - 16}$

Schritt 4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{a^{2} + 4}{a (a - 5)} \cdot \frac{(a - 5) (a + 2)}{{(a^{2})}^{2} - 4^{2}}$

Schritt 4.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = a^{2}$ und $b = 4$ .

$\frac{a^{2} + 4}{a (a - 5)} \cdot \frac{(a - 5) (a + 2)}{(a^{2} + 4) (a^{2} - 4)}$

Schritt 4.4

Vereinfache.

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Schritt 4.4.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{a^{2} + 4}{a (a - 5)} \cdot \frac{(a - 5) (a + 2)}{(a^{2} + 4) (a^{2} - 2^{2})}$

Schritt 4.4.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = a$ und $b = 2$ .

$\frac{a^{2} + 4}{a (a - 5)} \cdot \frac{(a - 5) (a + 2)}{(a^{2} + 4) (a + 2) (a - 2)}$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a^{2} + 4$ .

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $a^{2} + 4$ aus $(a^{2} + 4) (a + 2) (a - 2)$ heraus.

$\frac{a^{2} + 4}{a (a - 5)} \cdot \frac{(a - 5) (a + 2)}{(a^{2} + 4) ((a + 2) (a - 2))}$

Schritt 5.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{a^{2} + 4}{a (a - 5)} \cdot \frac{(a - 5) (a + 2)}{(a^{2} + 4) ((a + 2) (a - 2))}$

Schritt 5.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{a (a - 5)} \cdot \frac{(a - 5) (a + 2)}{(a + 2) (a - 2)}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a - 5$ .

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $a - 5$ aus $a (a - 5)$ heraus.

$\frac{1}{(a - 5) a} \cdot \frac{(a - 5) (a + 2)}{(a + 2) (a - 2)}$

Schritt 5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{(a - 5) a} \cdot \frac{(a - 5) (a + 2)}{(a + 2) (a - 2)}$

Schritt 5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{a} \cdot \frac{a + 2}{(a + 2) (a - 2)}$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $\frac{1}{a}$ mit $\frac{a + 2}{(a + 2) (a - 2)}$ .

$\frac{a + 2}{a ((a + 2) (a - 2))}$

Schritt 5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a + 2$ .

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Schritt 5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{a + 2}{a ((a + 2) (a - 2))}$

Schritt 5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{a (a - 2)}$