Grundlegende Mathematik Beispiele

$\frac{2 a}{a^{2} - 1} + \frac{1}{a^{2 + a}}$

Schritt 1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{2 a}{a^{2} - 1^{2}} + \frac{1}{a^{2 + a}}$

Schritt 1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = a$ und $b = 1$ .

$\frac{2 a}{(a + 1) (a - 1)} + \frac{1}{a^{2 + a}}$

Schritt 2

Um $\frac{2 a}{(a + 1) (a - 1)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{a^{2 + a}}{a^{2 + a}}$ .

$\frac{2 a}{(a + 1) (a - 1)} \cdot \frac{a^{2 + a}}{a^{2 + a}} + \frac{1}{a^{2 + a}}$

Schritt 3

Um $\frac{1}{a^{2 + a}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{(a + 1) (a - 1)}{(a + 1) (a - 1)}$ .

$\frac{2 a}{(a + 1) (a - 1)} \cdot \frac{a^{2 + a}}{a^{2 + a}} + \frac{1}{a^{2 + a}} \cdot \frac{(a + 1) (a - 1)}{(a + 1) (a - 1)}$

Schritt 4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(a + 1) (a - 1) a^{2 + a}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{2 a}{(a + 1) (a - 1)}$ mit $\frac{a^{2 + a}}{a^{2 + a}}$ .

$\frac{2 a \cdot a^{2 + a}}{(a + 1) (a - 1) a^{2 + a}} + \frac{1}{a^{2 + a}} \cdot \frac{(a + 1) (a - 1)}{(a + 1) (a - 1)}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{a^{2 + a}}$ mit $\frac{(a + 1) (a - 1)}{(a + 1) (a - 1)}$ .

$\frac{2 a \cdot a^{2 + a}}{(a + 1) (a - 1) a^{2 + a}} + \frac{(a + 1) (a - 1)}{a^{2 + a} ((a + 1) (a - 1))}$

Schritt 4.3

Stelle die Faktoren von $(a + 1) (a - 1) a^{2 + a}$ um.

$\frac{2 a \cdot a^{2 + a}}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)} + \frac{(a + 1) (a - 1)}{a^{2 + a} ((a + 1) (a - 1))}$

Schritt 4.4

Stelle die Faktoren von $a^{2 + a} ((a + 1) (a - 1))$ um.

$\frac{2 a \cdot a^{2 + a}}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)} + \frac{(a + 1) (a - 1)}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 a \cdot a^{2 + a} + (a + 1) (a - 1)}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Multipliziere $a$ mit $a^{2 + a}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1.1

Bewege $a^{2 + a}$ .

$\frac{2 (a^{2 + a} a) + (a + 1) (a - 1)}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)}$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $a^{2 + a}$ mit $a$ .

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Schritt 6.1.2.1

Potenziere $a$ mit $1$ .

$\frac{2 (a^{2 + a} a^{1}) + (a + 1) (a - 1)}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)}$

Schritt 6.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 a^{2 + a + 1} + (a + 1) (a - 1)}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)}$

Schritt 6.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{2 a^{a + 3} + (a + 1) (a - 1)}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)}$

Schritt 6.2

Multipliziere $(a + 1) (a - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 a^{a + 3} + a (a - 1) + 1 (a - 1)}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)}$

Schritt 6.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 a^{a + 3} + a \cdot a + a \cdot - 1 + 1 (a - 1)}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)}$

Schritt 6.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 a^{a + 3} + a \cdot a + a \cdot - 1 + 1 a + 1 \cdot - 1}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)}$

Schritt 6.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.1.1

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$\frac{2 a^{a + 3} + a^{2} + a \cdot - 1 + 1 a + 1 \cdot - 1}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)}$

Schritt 6.3.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $a$ .

$\frac{2 a^{a + 3} + a^{2} - 1 \cdot a + 1 a + 1 \cdot - 1}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)}$

Schritt 6.3.1.3

Schreibe $- 1 a$ als $- a$ um.

$\frac{2 a^{a + 3} + a^{2} - a + 1 a + 1 \cdot - 1}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)}$

Schritt 6.3.1.4

Mutltipliziere $a$ mit $1$ .

$\frac{2 a^{a + 3} + a^{2} - a + a + 1 \cdot - 1}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)}$

Schritt 6.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{2 a^{a + 3} + a^{2} - a + a - 1}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)}$

Schritt 6.3.2

Addiere $- a$ und $a$ .

$\frac{2 a^{a + 3} + a^{2} + 0 - 1}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)}$

Schritt 6.3.3

Addiere $a^{2}$ und $0$ .

$\frac{2 a^{a + 3} + a^{2} - 1}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)}$

Schritt 6.4

Stelle die Terme um.

$\frac{a^{2} + 2 a^{a + 3} - 1}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)}$