Grundlegende Mathematik Beispiele

$\frac{4 - 9 y^{2}}{3 y^{2} + 4 y - 4} \div \frac{3 y^{2} + 5 y + 3}{y^{2} + y - 3}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{4 - 9 y^{2}}{3 y^{2} + 4 y - 4} \cdot \frac{y^{2} + y - 3}{3 y^{2} + 5 y + 3}$

Schritt 2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{2^{2} - 9 y^{2}}{3 y^{2} + 4 y - 4} \cdot \frac{y^{2} + y - 3}{3 y^{2} + 5 y + 3}$

Schritt 2.2

Schreibe $9 y^{2}$ als ${(3 y)}^{2}$ um.

$\frac{2^{2} - {(3 y)}^{2}}{3 y^{2} + 4 y - 4} \cdot \frac{y^{2} + y - 3}{3 y^{2} + 5 y + 3}$

Schritt 2.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2$ und $b = 3 y$ .

$\frac{(2 + 3 y) (2 - (3 y))}{3 y^{2} + 4 y - 4} \cdot \frac{y^{2} + y - 3}{3 y^{2} + 5 y + 3}$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{(2 + 3 y) (2 - 3 y)}{3 y^{2} + 4 y - 4} \cdot \frac{y^{2} + y - 3}{3 y^{2} + 5 y + 3}$

Schritt 3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot - 4 = - 12$ und deren Summe gleich $b = 4$ ist.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 y$ heraus.

$\frac{(2 + 3 y) (2 - 3 y)}{3 y^{2} + 4 (y) - 4} \cdot \frac{y^{2} + y - 3}{3 y^{2} + 5 y + 3}$

Schritt 3.1.2

Schreibe $4$ um als $- 2$ plus $6$

$\frac{(2 + 3 y) (2 - 3 y)}{3 y^{2} + (- 2 + 6) y - 4} \cdot \frac{y^{2} + y - 3}{3 y^{2} + 5 y + 3}$

Schritt 3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 + 3 y) (2 - 3 y)}{3 y^{2} - 2 y + 6 y - 4} \cdot \frac{y^{2} + y - 3}{3 y^{2} + 5 y + 3}$

Schritt 3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(2 + 3 y) (2 - 3 y)}{(3 y^{2} - 2 y) + 6 y - 4} \cdot \frac{y^{2} + y - 3}{3 y^{2} + 5 y + 3}$

Schritt 3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{(2 + 3 y) (2 - 3 y)}{y (3 y - 2) + 2 (3 y - 2)} \cdot \frac{y^{2} + y - 3}{3 y^{2} + 5 y + 3}$

Schritt 3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 y - 2$ .

$\frac{(2 + 3 y) (2 - 3 y)}{(3 y - 2) (y + 2)} \cdot \frac{y^{2} + y - 3}{3 y^{2} + 5 y + 3}$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 - 3 y$ und $3 y - 2$ .

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Schritt 4.1

Schreibe $2$ als $- 1 (- 2)$ um.

$\frac{(2 + 3 y) (- 1 (- 2) - 3 y)}{(3 y - 2) (y + 2)} \cdot \frac{y^{2} + y - 3}{3 y^{2} + 5 y + 3}$

Schritt 4.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 y$ heraus.

$\frac{(2 + 3 y) (- 1 (- 2) - (3 y))}{(3 y - 2) (y + 2)} \cdot \frac{y^{2} + y - 3}{3 y^{2} + 5 y + 3}$

Schritt 4.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- 2) - (3 y)$ heraus.

$\frac{(2 + 3 y) (- 1 (- 2 + 3 y))}{(3 y - 2) (y + 2)} \cdot \frac{y^{2} + y - 3}{3 y^{2} + 5 y + 3}$

Schritt 4.4

Stelle die Terme um.

$\frac{(2 + 3 y) (- 1 (3 y - 2))}{(3 y - 2) (y + 2)} \cdot \frac{y^{2} + y - 3}{3 y^{2} + 5 y + 3}$

Schritt 4.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(2 + 3 y) (- 1 (3 y - 2))}{(3 y - 2) (y + 2)} \cdot \frac{y^{2} + y - 3}{3 y^{2} + 5 y + 3}$

Schritt 4.6

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(2 + 3 y) \cdot (- 1)}{y + 2} \cdot \frac{y^{2} + y - 3}{3 y^{2} + 5 y + 3}$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $2 + 3 y$ .

$\frac{- 1 \cdot (2 + 3 y)}{y + 2} \cdot \frac{y^{2} + y - 3}{3 y^{2} + 5 y + 3}$

Schritt 5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 + 3 y}{y + 2} \cdot \frac{y^{2} + y - 3}{3 y^{2} + 5 y + 3}$

Schritt 6

Mutltipliziere $\frac{y^{2} + y - 3}{3 y^{2} + 5 y + 3}$ mit $\frac{2 + 3 y}{y + 2}$ .

$- \frac{(y^{2} + y - 3) (2 + 3 y)}{(3 y^{2} + 5 y + 3) (y + 2)}$