Grundlegende Mathematik Beispiele

$\frac{5 n^{2} + 53 n + 72}{35 n^{2} - 63 n} \div \frac{25 n^{2} + 50 n + 16}{25 n^{2} - 35 n - 18}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{5 n^{2} + 53 n + 72}{35 n^{2} - 63 n} \cdot \frac{25 n^{2} - 35 n - 18}{25 n^{2} + 50 n + 16}$

Schritt 2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 5 \cdot 72 = 360$ und deren Summe gleich $b = 53$ ist.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $53$ aus $53 n$ heraus.

$\frac{5 n^{2} + 53 (n) + 72}{35 n^{2} - 63 n} \cdot \frac{25 n^{2} - 35 n - 18}{25 n^{2} + 50 n + 16}$

Schritt 2.1.2

Schreibe $53$ um als $8$ plus $45$

$\frac{5 n^{2} + (8 + 45) n + 72}{35 n^{2} - 63 n} \cdot \frac{25 n^{2} - 35 n - 18}{25 n^{2} + 50 n + 16}$

Schritt 2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 n^{2} + 8 n + 45 n + 72}{35 n^{2} - 63 n} \cdot \frac{25 n^{2} - 35 n - 18}{25 n^{2} + 50 n + 16}$

Schritt 2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(5 n^{2} + 8 n) + 45 n + 72}{35 n^{2} - 63 n} \cdot \frac{25 n^{2} - 35 n - 18}{25 n^{2} + 50 n + 16}$

Schritt 2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{n (5 n + 8) + 9 (5 n + 8)}{35 n^{2} - 63 n} \cdot \frac{25 n^{2} - 35 n - 18}{25 n^{2} + 50 n + 16}$

Schritt 2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $5 n + 8$ .

$\frac{(5 n + 8) (n + 9)}{35 n^{2} - 63 n} \cdot \frac{25 n^{2} - 35 n - 18}{25 n^{2} + 50 n + 16}$

Schritt 3

Faktorisiere $7 n$ aus $35 n^{2} - 63 n$ heraus.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $7 n$ aus $35 n^{2}$ heraus.

$\frac{(5 n + 8) (n + 9)}{7 n (5 n) - 63 n} \cdot \frac{25 n^{2} - 35 n - 18}{25 n^{2} + 50 n + 16}$

Schritt 3.2

Faktorisiere $7 n$ aus $- 63 n$ heraus.

$\frac{(5 n + 8) (n + 9)}{7 n (5 n) + 7 n (- 9)} \cdot \frac{25 n^{2} - 35 n - 18}{25 n^{2} + 50 n + 16}$

Schritt 3.3

Faktorisiere $7 n$ aus $7 n (5 n) + 7 n (- 9)$ heraus.

$\frac{(5 n + 8) (n + 9)}{7 n (5 n - 9)} \cdot \frac{25 n^{2} - 35 n - 18}{25 n^{2} + 50 n + 16}$

Schritt 4

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 25 \cdot - 18 = - 450$ und deren Summe gleich $b = - 35$ ist.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $- 35$ aus $- 35 n$ heraus.

$\frac{(5 n + 8) (n + 9)}{7 n (5 n - 9)} \cdot \frac{25 n^{2} - 35 (n) - 18}{25 n^{2} + 50 n + 16}$

Schritt 4.1.2

Schreibe $- 35$ um als $10$ plus $- 45$

$\frac{(5 n + 8) (n + 9)}{7 n (5 n - 9)} \cdot \frac{25 n^{2} + (10 - 45) n - 18}{25 n^{2} + 50 n + 16}$

Schritt 4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(5 n + 8) (n + 9)}{7 n (5 n - 9)} \cdot \frac{25 n^{2} + 10 n - 45 n - 18}{25 n^{2} + 50 n + 16}$

Schritt 4.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(5 n + 8) (n + 9)}{7 n (5 n - 9)} \cdot \frac{(25 n^{2} + 10 n) - 45 n - 18}{25 n^{2} + 50 n + 16}$

Schritt 4.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{(5 n + 8) (n + 9)}{7 n (5 n - 9)} \cdot \frac{5 n (5 n + 2) - 9 (5 n + 2)}{25 n^{2} + 50 n + 16}$

Schritt 4.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $5 n + 2$ .

$\frac{(5 n + 8) (n + 9)}{7 n (5 n - 9)} \cdot \frac{(5 n + 2) (5 n - 9)}{25 n^{2} + 50 n + 16}$

Schritt 5

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 5.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 25 \cdot 16 = 400$ und deren Summe gleich $b = 50$ ist.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $50$ aus $50 n$ heraus.

$\frac{(5 n + 8) (n + 9)}{7 n (5 n - 9)} \cdot \frac{(5 n + 2) (5 n - 9)}{25 n^{2} + 50 (n) + 16}$

Schritt 5.1.2

Schreibe $50$ um als $10$ plus $40$

$\frac{(5 n + 8) (n + 9)}{7 n (5 n - 9)} \cdot \frac{(5 n + 2) (5 n - 9)}{25 n^{2} + (10 + 40) n + 16}$

Schritt 5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(5 n + 8) (n + 9)}{7 n (5 n - 9)} \cdot \frac{(5 n + 2) (5 n - 9)}{25 n^{2} + 10 n + 40 n + 16}$

Schritt 5.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 5.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(5 n + 8) (n + 9)}{7 n (5 n - 9)} \cdot \frac{(5 n + 2) (5 n - 9)}{(25 n^{2} + 10 n) + 40 n + 16}$

Schritt 5.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{(5 n + 8) (n + 9)}{7 n (5 n - 9)} \cdot \frac{(5 n + 2) (5 n - 9)}{5 n (5 n + 2) + 8 (5 n + 2)}$

Schritt 5.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $5 n + 2$ .

$\frac{(5 n + 8) (n + 9)}{7 n (5 n - 9)} \cdot \frac{(5 n + 2) (5 n - 9)}{(5 n + 2) (5 n + 8)}$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5 n + 8$ .

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Schritt 6.1

Faktorisiere $5 n + 8$ aus $(5 n + 2) (5 n + 8)$ heraus.

$\frac{(5 n + 8) (n + 9)}{7 n (5 n - 9)} \cdot \frac{(5 n + 2) (5 n - 9)}{(5 n + 8) (5 n + 2)}$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(5 n + 8) (n + 9)}{7 n (5 n - 9)} \cdot \frac{(5 n + 2) (5 n - 9)}{(5 n + 8) (5 n + 2)}$

Schritt 6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{n + 9}{7 n (5 n - 9)} \cdot \frac{(5 n + 2) (5 n - 9)}{5 n + 2}$

Schritt 7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5 n - 9$ .

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Schritt 7.1

Faktorisiere $5 n - 9$ aus $7 n (5 n - 9)$ heraus.

$\frac{n + 9}{(5 n - 9) (7 n)} \cdot \frac{(5 n + 2) (5 n - 9)}{5 n + 2}$

Schritt 7.2

Faktorisiere $5 n - 9$ aus $(5 n + 2) (5 n - 9)$ heraus.

$\frac{n + 9}{(5 n - 9) (7 n)} \cdot \frac{(5 n - 9) (5 n + 2)}{5 n + 2}$

Schritt 7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{n + 9}{(5 n - 9) (7 n)} \cdot \frac{(5 n - 9) (5 n + 2)}{5 n + 2}$

Schritt 7.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{n + 9}{7 n} \cdot \frac{5 n + 2}{5 n + 2}$

Schritt 8

Mutltipliziere $\frac{n + 9}{7 n}$ mit $\frac{5 n + 2}{5 n + 2}$ .

$\frac{(n + 9) (5 n + 2)}{7 n (5 n + 2)}$

Schritt 9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5 n + 2$ .

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Schritt 9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(n + 9) (5 n + 2)}{7 n (5 n + 2)}$

Schritt 9.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{n + 9}{7 n}$