Grundlegende Mathematik Beispiele

$\frac{5 k^{2} - 4 k - 1}{5 k^{2} + 16 k + 11} \div \frac{5 k^{2} + 6 k - 11}{25 k^{2} - 1}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{5 k^{2} - 4 k - 1}{5 k^{2} + 16 k + 11} \cdot \frac{25 k^{2} - 1}{5 k^{2} + 6 k - 11}$

Schritt 2

Faktorisiere durch Gruppieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 5 \cdot - 1 = - 5$ und deren Summe gleich $b = - 4$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 k$ heraus.

$\frac{5 k^{2} - 4 (k) - 1}{5 k^{2} + 16 k + 11} \cdot \frac{25 k^{2} - 1}{5 k^{2} + 6 k - 11}$

Schritt 2.1.2

Schreibe $- 4$ um als $1$ plus $- 5$

$\frac{5 k^{2} + (1 - 5) k - 1}{5 k^{2} + 16 k + 11} \cdot \frac{25 k^{2} - 1}{5 k^{2} + 6 k - 11}$

Schritt 2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 k^{2} + 1 k - 5 k - 1}{5 k^{2} + 16 k + 11} \cdot \frac{25 k^{2} - 1}{5 k^{2} + 6 k - 11}$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $k$ mit $1$ .

$\frac{5 k^{2} + k - 5 k - 1}{5 k^{2} + 16 k + 11} \cdot \frac{25 k^{2} - 1}{5 k^{2} + 6 k - 11}$

Schritt 2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(5 k^{2} + k) - 5 k - 1}{5 k^{2} + 16 k + 11} \cdot \frac{25 k^{2} - 1}{5 k^{2} + 6 k - 11}$

Schritt 2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{k (5 k + 1) - (5 k + 1)}{5 k^{2} + 16 k + 11} \cdot \frac{25 k^{2} - 1}{5 k^{2} + 6 k - 11}$

Schritt 2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $5 k + 1$ .

$\frac{(5 k + 1) (k - 1)}{5 k^{2} + 16 k + 11} \cdot \frac{25 k^{2} - 1}{5 k^{2} + 6 k - 11}$

Schritt 3

Faktorisiere durch Gruppieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 5 \cdot 11 = 55$ und deren Summe gleich $b = 16$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Faktorisiere $16$ aus $16 k$ heraus.

$\frac{(5 k + 1) (k - 1)}{5 k^{2} + 16 (k) + 11} \cdot \frac{25 k^{2} - 1}{5 k^{2} + 6 k - 11}$

Schritt 3.1.2

Schreibe $16$ um als $5$ plus $11$

$\frac{(5 k + 1) (k - 1)}{5 k^{2} + (5 + 11) k + 11} \cdot \frac{25 k^{2} - 1}{5 k^{2} + 6 k - 11}$

Schritt 3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(5 k + 1) (k - 1)}{5 k^{2} + 5 k + 11 k + 11} \cdot \frac{25 k^{2} - 1}{5 k^{2} + 6 k - 11}$

Schritt 3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(5 k + 1) (k - 1)}{(5 k^{2} + 5 k) + 11 k + 11} \cdot \frac{25 k^{2} - 1}{5 k^{2} + 6 k - 11}$

Schritt 3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{(5 k + 1) (k - 1)}{5 k (k + 1) + 11 (k + 1)} \cdot \frac{25 k^{2} - 1}{5 k^{2} + 6 k - 11}$

Schritt 3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $k + 1$ .

$\frac{(5 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (5 k + 11)} \cdot \frac{25 k^{2} - 1}{5 k^{2} + 6 k - 11}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Schreibe $25 k^{2}$ als ${(5 k)}^{2}$ um.

$\frac{(5 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (5 k + 11)} \cdot \frac{{(5 k)}^{2} - 1}{5 k^{2} + 6 k - 11}$

Schritt 4.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{(5 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (5 k + 11)} \cdot \frac{{(5 k)}^{2} - 1^{2}}{5 k^{2} + 6 k - 11}$

Schritt 4.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 5 k$ und $b = 1$ .

$\frac{(5 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (5 k + 11)} \cdot \frac{(5 k + 1) (5 k - 1)}{5 k^{2} + 6 k - 11}$

Schritt 5

Faktorisiere durch Gruppieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 5 \cdot - 11 = - 55$ und deren Summe gleich $b = 6$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

Faktorisiere $6$ aus $6 k$ heraus.

$\frac{(5 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (5 k + 11)} \cdot \frac{(5 k + 1) (5 k - 1)}{5 k^{2} + 6 (k) - 11}$

Schritt 5.1.2

Schreibe $6$ um als $- 5$ plus $11$

$\frac{(5 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (5 k + 11)} \cdot \frac{(5 k + 1) (5 k - 1)}{5 k^{2} + (- 5 + 11) k - 11}$

Schritt 5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(5 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (5 k + 11)} \cdot \frac{(5 k + 1) (5 k - 1)}{5 k^{2} - 5 k + 11 k - 11}$

Schritt 5.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(5 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (5 k + 11)} \cdot \frac{(5 k + 1) (5 k - 1)}{(5 k^{2} - 5 k) + 11 k - 11}$

Schritt 5.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{(5 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (5 k + 11)} \cdot \frac{(5 k + 1) (5 k - 1)}{5 k (k - 1) + 11 (k - 1)}$

Schritt 5.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $k - 1$ .

$\frac{(5 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (5 k + 11)} \cdot \frac{(5 k + 1) (5 k - 1)}{(k - 1) (5 k + 11)}$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $k - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Faktorisiere $k - 1$ aus $(5 k + 1) (k - 1)$ heraus.

$\frac{(k - 1) (5 k + 1)}{(k + 1) (5 k + 11)} \cdot \frac{(5 k + 1) (5 k - 1)}{(k - 1) (5 k + 11)}$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(k - 1) (5 k + 1)}{(k + 1) (5 k + 11)} \cdot \frac{(5 k + 1) (5 k - 1)}{(k - 1) (5 k + 11)}$

Schritt 6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5 k + 1}{(k + 1) (5 k + 11)} \cdot \frac{(5 k + 1) (5 k - 1)}{5 k + 11}$

Schritt 7

Mutltipliziere $\frac{5 k + 1}{(k + 1) (5 k + 11)}$ mit $\frac{(5 k + 1) (5 k - 1)}{5 k + 11}$ .

$\frac{(5 k + 1) ((5 k + 1) (5 k - 1))}{(k + 1) (5 k + 11) (5 k + 11)}$

Schritt 8

Potenziere $5 k + 1$ mit $1$ .

$\frac{{(5 k + 1)}^{1} (5 k + 1) (5 k - 1)}{(k + 1) (5 k + 11) (5 k + 11)}$

Schritt 9

Potenziere $5 k + 1$ mit $1$ .

$\frac{{(5 k + 1)}^{1} {(5 k + 1)}^{1} (5 k - 1)}{(k + 1) (5 k + 11) (5 k + 11)}$

Schritt 10

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{(5 k + 1)}^{1 + 1} (5 k - 1)}{(k + 1) (5 k + 11) (5 k + 11)}$

Schritt 11

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{{(5 k + 1)}^{2} (5 k - 1)}{(k + 1) (5 k + 11) (5 k + 11)}$

Schritt 12

Potenziere $5 k + 11$ mit $1$ .

$\frac{{(5 k + 1)}^{2} (5 k - 1)}{(k + 1) ({(5 k + 11)}^{1} (5 k + 11))}$

Schritt 13

Potenziere $5 k + 11$ mit $1$ .

$\frac{{(5 k + 1)}^{2} (5 k - 1)}{(k + 1) ({(5 k + 11)}^{1} {(5 k + 11)}^{1})}$

Schritt 14

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{(5 k + 1)}^{2} (5 k - 1)}{(k + 1) {(5 k + 11)}^{1 + 1}}$

Schritt 15

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{{(5 k + 1)}^{2} (5 k - 1)}{(k + 1) {(5 k + 11)}^{2}}$