Grundlegende Mathematik Beispiele

$\frac{\sqrt{3} (\cos (315) + i \sin (315))}{\sqrt{6} (\cos (45) + i \sin (45))}$

Schritt 1

Vereinige $\sqrt{3}$ und $\sqrt{6}$ zu einer einzigen Wurzel.

$\frac{\sqrt{\frac{3}{6}} (\cos (315) + i \sin (315))}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Schritt 2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $6$ .

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Schritt 2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{\sqrt{\frac{3 (1)}{6}} (\cos (315) + i \sin (315))}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Schritt 2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{\sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}} (\cos (315) + i \sin (315))}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}} (\cos (315) + i \sin (315))}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Schritt 2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2}} (\cos (315) + i \sin (315))}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Schritt 3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2}} (\cos (45) + i \sin (315))}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Schritt 3.2

Der genau Wert von $\cos (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2}} (\frac{\sqrt{2}}{2} + i \sin (315))}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Schritt 3.3

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sinus im vierten Quadranten negativ ist.

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2}} (\frac{\sqrt{2}}{2} + i (- \sin (45)))}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Schritt 3.4

Der genau Wert von $\sin (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2}} (\frac{\sqrt{2}}{2} + i (- \frac{\sqrt{2}}{2}))}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Schritt 3.5

Kombiniere $i$ und $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Schritt 3.6

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{2}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ um.

$\frac{\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Schritt 3.7

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\frac{\frac{1}{\sqrt{2}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Schritt 3.8

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Schritt 3.9

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.9.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Schritt 3.9.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Schritt 3.9.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Schritt 3.9.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Schritt 3.9.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Schritt 3.9.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 3.9.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Schritt 3.9.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Schritt 3.9.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Schritt 3.9.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.9.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Schritt 3.9.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2^{1}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Schritt 3.9.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Schritt 3.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{2}}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Schritt 4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1

Der genau Wert von $\cos (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2} + i \sin (45)}$

Schritt 4.2

Der genau Wert von $\sin (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}}$

Schritt 4.3

Kombiniere $i$ und $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{i \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 5

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2} (\sqrt{2} - i \sqrt{2})}{2 \cdot 2}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2} (\sqrt{2} - i \sqrt{2})}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- i \sqrt{2})}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 6.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\frac{\sqrt{2 \cdot 2} + \sqrt{2} (- i \sqrt{2})}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 6.3

Multipliziere $\sqrt{2} (- i \sqrt{2})$ .

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Schritt 6.3.1

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2 \cdot 2} - i ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 6.3.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2 \cdot 2} - i ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 6.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{\sqrt{2 \cdot 2} - i {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 6.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2 \cdot 2} - i {\sqrt{2}}^{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 6.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{4} - i {\sqrt{2}}^{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 6.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{\frac{\sqrt{2^{2}} - i {\sqrt{2}}^{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 6.4.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{\frac{2 - i {\sqrt{2}}^{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 6.4.4

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 6.4.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\frac{2 - i {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 6.4.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{2 - i \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 6.4.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\frac{2 - i \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 6.4.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.4.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{2 - i \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 6.4.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{2 - i \cdot 2^{1}}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 6.4.4.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\frac{2 - i \cdot 2}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 6.4.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{\frac{2 - 2 i}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 6.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 - 2 i$ und $4$ .

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Schritt 6.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{\frac{2 (1) - 2 i}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 6.5.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 i$ heraus.

$\frac{\frac{2 (1) + 2 (- i)}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 6.5.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (1) + 2 (- i)$ heraus.

$\frac{\frac{2 (1 - i)}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 6.5.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.5.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{\frac{2 (1 - i)}{2 \cdot 2}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 6.5.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{2 (1 - i)}{2 \cdot 2}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 6.5.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{1 - i}{2}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 7

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{1 - i}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}$

Schritt 8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 - i}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}$

Schritt 8.2

Forme den Ausdruck um.

$(1 - i) \frac{1}{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}$

Schritt 9

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}$ .

$(1 - i) (\frac{1}{\sqrt{2} + i \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{\sqrt{2} - i \sqrt{2}})$

Schritt 10

Vereinfache Terme.

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Schritt 10.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}$ .

$(1 - i) \frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{(\sqrt{2} + i \sqrt{2}) (\sqrt{2} - i \sqrt{2})}$

Schritt 10.2

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$(1 - i) \frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2} - i {\sqrt{2}}^{2} + i {\sqrt{2}}^{2} - i^{2} {\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 10.3

Vereinfache.

$(1 - i) \frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{4}$

Schritt 10.4

Wende das Distributivgesetz an.

$1 \frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{4} - i \frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{4}$

Schritt 10.5

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{4}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{4} - i \frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{4}$

Schritt 10.6

Kombiniere $\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{4}$ und $i$ .

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{4} - \frac{(\sqrt{2} - i \sqrt{2}) i}{4}$

Schritt 10.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2} - (\sqrt{2} - i \sqrt{2}) i}{4}$

Schritt 11

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2} + (- \sqrt{2} - (- i \sqrt{2})) i}{4}$

Schritt 11.2

Multipliziere $- (- i \sqrt{2})$ .

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Schritt 11.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2} + (- \sqrt{2} + 1 (i \sqrt{2})) i}{4}$

Schritt 11.2.2

Mutltipliziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2} + (- \sqrt{2} + \sqrt{2} i) i}{4}$

Schritt 11.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2} - \sqrt{2} i + \sqrt{2} i i}{4}$

Schritt 11.4

Multipliziere $\sqrt{2} i i$ .

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Schritt 11.4.1

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2} - \sqrt{2} i + \sqrt{2} (i^{1} i)}{4}$

Schritt 11.4.2

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2} - \sqrt{2} i + \sqrt{2} (i^{1} i^{1})}{4}$

Schritt 11.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2} - \sqrt{2} i + \sqrt{2} i^{1 + 1}}{4}$

Schritt 11.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2} - \sqrt{2} i + \sqrt{2} i^{2}}{4}$

Schritt 11.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.5.1

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2} - \sqrt{2} i + \sqrt{2} \cdot - 1}{4}$

Schritt 11.5.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2} - \sqrt{2} i - 1 \cdot \sqrt{2}}{4}$

Schritt 11.5.3

Schreibe $- 1 \sqrt{2}$ als $- \sqrt{2}$ um.

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2} - \sqrt{2} i - \sqrt{2}}{4}$

Schritt 12

Vereinfache Terme.

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Schritt 12.1

Subtrahiere $\sqrt{2}$ von $\sqrt{2}$ .

$\frac{- i \sqrt{2} - \sqrt{2} i + 0}{4}$

Schritt 12.2

Stelle die Faktoren von $- \sqrt{2} i$ um.

$\frac{- i \sqrt{2} - i \sqrt{2} + 0}{4}$

Schritt 12.3

Subtrahiere $i \sqrt{2}$ von $- i \sqrt{2}$ .

$\frac{- 2 i \sqrt{2} + 0}{4}$

Schritt 12.4

Addiere $- 2 i \sqrt{2}$ und $0$ .

$\frac{- 2 i \sqrt{2}}{4}$

Schritt 12.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $4$ .

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Schritt 12.5.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 i \sqrt{2}$ heraus.

$\frac{2 (- i \sqrt{2})}{4}$

Schritt 12.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 (- i \sqrt{2})}{2 (2)}$

Schritt 12.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- i \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

Schritt 12.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- i \sqrt{2}}{2}$

Schritt 12.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{i \sqrt{2}}{2}$