Grundlegende Mathematik Beispiele

$\frac{a - 2}{a - 1} + \frac{a + 3}{a + 2} + \frac{a + 1}{a - 3}$

Schritt 1

Um $\frac{a - 2}{a - 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{a + 2}{a + 2}$ .

$\frac{a - 2}{a - 1} \cdot \frac{a + 2}{a + 2} + \frac{a + 3}{a + 2} + \frac{a + 1}{a - 3}$

Schritt 2

Um $\frac{a + 3}{a + 2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{a - 1}{a - 1}$ .

$\frac{a - 2}{a - 1} \cdot \frac{a + 2}{a + 2} + \frac{a + 3}{a + 2} \cdot \frac{a - 1}{a - 1} + \frac{a + 1}{a - 3}$

Schritt 3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(a - 1) (a + 2)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{a - 2}{a - 1}$ mit $\frac{a + 2}{a + 2}$ .

$\frac{(a - 2) (a + 2)}{(a - 1) (a + 2)} + \frac{a + 3}{a + 2} \cdot \frac{a - 1}{a - 1} + \frac{a + 1}{a - 3}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $\frac{a + 3}{a + 2}$ mit $\frac{a - 1}{a - 1}$ .

$\frac{(a - 2) (a + 2)}{(a - 1) (a + 2)} + \frac{(a + 3) (a - 1)}{(a + 2) (a - 1)} + \frac{a + 1}{a - 3}$

Schritt 3.3

Stelle die Faktoren von $(a - 1) (a + 2)$ um.

$\frac{(a - 2) (a + 2)}{(a + 2) (a - 1)} + \frac{(a + 3) (a - 1)}{(a + 2) (a - 1)} + \frac{a + 1}{a - 3}$

Schritt 4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(a - 2) (a + 2) + (a + 3) (a - 1)}{(a + 2) (a - 1)} + \frac{a + 1}{a - 3}$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1

Multipliziere $(a - 2) (a + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a (a + 2) - 2 (a + 2) + (a + 3) (a - 1)}{(a + 2) (a - 1)} + \frac{a + 1}{a - 3}$

Schritt 5.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a \cdot a + a \cdot 2 - 2 (a + 2) + (a + 3) (a - 1)}{(a + 2) (a - 1)} + \frac{a + 1}{a - 3}$

Schritt 5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a \cdot a + a \cdot 2 - 2 a - 2 \cdot 2 + (a + 3) (a - 1)}{(a + 2) (a - 1)} + \frac{a + 1}{a - 3}$

Schritt 5.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $a \cdot a + a \cdot 2 - 2 a - 2 \cdot 2$ .

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Schritt 5.2.1

Ordne die Faktoren in den Termen $a \cdot 2$ und $- 2 a$ neu an.

$\frac{a \cdot a + 2 a - 2 a - 2 \cdot 2 + (a + 3) (a - 1)}{(a + 2) (a - 1)} + \frac{a + 1}{a - 3}$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $2 a$ von $2 a$ .

$\frac{a \cdot a + 0 - 2 \cdot 2 + (a + 3) (a - 1)}{(a + 2) (a - 1)} + \frac{a + 1}{a - 3}$

Schritt 5.2.3

Addiere $a \cdot a$ und $0$ .

$\frac{a \cdot a - 2 \cdot 2 + (a + 3) (a - 1)}{(a + 2) (a - 1)} + \frac{a + 1}{a - 3}$

Schritt 5.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$\frac{a^{2} - 2 \cdot 2 + (a + 3) (a - 1)}{(a + 2) (a - 1)} + \frac{a + 1}{a - 3}$

Schritt 5.3.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{a^{2} - 4 + (a + 3) (a - 1)}{(a + 2) (a - 1)} + \frac{a + 1}{a - 3}$

Schritt 5.4

Multipliziere $(a + 3) (a - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a^{2} - 4 + a (a - 1) + 3 (a - 1)}{(a + 2) (a - 1)} + \frac{a + 1}{a - 3}$

Schritt 5.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a^{2} - 4 + a \cdot a + a \cdot - 1 + 3 (a - 1)}{(a + 2) (a - 1)} + \frac{a + 1}{a - 3}$

Schritt 5.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a^{2} - 4 + a \cdot a + a \cdot - 1 + 3 a + 3 \cdot - 1}{(a + 2) (a - 1)} + \frac{a + 1}{a - 3}$

Schritt 5.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.5.1.1

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$\frac{a^{2} - 4 + a^{2} + a \cdot - 1 + 3 a + 3 \cdot - 1}{(a + 2) (a - 1)} + \frac{a + 1}{a - 3}$

Schritt 5.5.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $a$ .

$\frac{a^{2} - 4 + a^{2} - 1 \cdot a + 3 a + 3 \cdot - 1}{(a + 2) (a - 1)} + \frac{a + 1}{a - 3}$

Schritt 5.5.1.3

Schreibe $- 1 a$ als $- a$ um.

$\frac{a^{2} - 4 + a^{2} - a + 3 a + 3 \cdot - 1}{(a + 2) (a - 1)} + \frac{a + 1}{a - 3}$

Schritt 5.5.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{a^{2} - 4 + a^{2} - a + 3 a - 3}{(a + 2) (a - 1)} + \frac{a + 1}{a - 3}$

Schritt 5.5.2

Addiere $- a$ und $3 a$ .

$\frac{a^{2} - 4 + a^{2} + 2 a - 3}{(a + 2) (a - 1)} + \frac{a + 1}{a - 3}$

Schritt 5.6

Addiere $a^{2}$ und $a^{2}$ .

$\frac{2 a^{2} - 4 + 2 a - 3}{(a + 2) (a - 1)} + \frac{a + 1}{a - 3}$

Schritt 5.7

Subtrahiere $3$ von $- 4$ .

$\frac{2 a^{2} + 2 a - 7}{(a + 2) (a - 1)} + \frac{a + 1}{a - 3}$

Schritt 6

Um $\frac{2 a^{2} + 2 a - 7}{(a + 2) (a - 1)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{a - 3}{a - 3}$ .

$\frac{2 a^{2} + 2 a - 7}{(a + 2) (a - 1)} \cdot \frac{a - 3}{a - 3} + \frac{a + 1}{a - 3}$

Schritt 7

Um $\frac{a + 1}{a - 3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{(a + 2) (a - 1)}{(a + 2) (a - 1)}$ .

$\frac{2 a^{2} + 2 a - 7}{(a + 2) (a - 1)} \cdot \frac{a - 3}{a - 3} + \frac{a + 1}{a - 3} \cdot \frac{(a + 2) (a - 1)}{(a + 2) (a - 1)}$

Schritt 8

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(a + 2) (a - 1) (a - 3)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $\frac{2 a^{2} + 2 a - 7}{(a + 2) (a - 1)}$ mit $\frac{a - 3}{a - 3}$ .

$\frac{(2 a^{2} + 2 a - 7) (a - 3)}{(a + 2) (a - 1) (a - 3)} + \frac{a + 1}{a - 3} \cdot \frac{(a + 2) (a - 1)}{(a + 2) (a - 1)}$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $\frac{a + 1}{a - 3}$ mit $\frac{(a + 2) (a - 1)}{(a + 2) (a - 1)}$ .

$\frac{(2 a^{2} + 2 a - 7) (a - 3)}{(a + 2) (a - 1) (a - 3)} + \frac{(a + 1) ((a + 2) (a - 1))}{(a - 3) ((a + 2) (a - 1))}$

Schritt 8.3

Stelle die Faktoren von $(a - 3) ((a + 2) (a - 1))$ um.

$\frac{(2 a^{2} + 2 a - 7) (a - 3)}{(a + 2) (a - 1) (a - 3)} + \frac{(a + 1) ((a + 2) (a - 1))}{(a + 2) (a - 1) (a - 3)}$

Schritt 9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(2 a^{2} + 2 a - 7) (a - 3) + (a + 1) ((a + 2) (a - 1))}{(a + 2) (a - 1) (a - 3)}$

Schritt 10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.1

Multipliziere $(2 a^{2} + 2 a - 7) (a - 3)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$\frac{2 a^{2} a + 2 a^{2} \cdot - 3 + 2 a \cdot a + 2 a \cdot - 3 - 7 a - 7 \cdot - 3 + (a + 1) (a + 2) (a - 1)}{(a + 2) (a - 1) (a - 3)}$

Schritt 10.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.2.1

Multipliziere $a^{2}$ mit $a$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 10.2.1.1

Bewege $a$ .

$\frac{2 (a \cdot a^{2}) + 2 a^{2} \cdot - 3 + 2 a \cdot a + 2 a \cdot - 3 - 7 a - 7 \cdot - 3 + (a + 1) (a + 2) (a - 1)}{(a + 2) (a - 1) (a - 3)}$

Schritt 10.2.1.2

Mutltipliziere $a$ mit $a^{2}$ .

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Schritt 10.2.1.2.1

Potenziere $a$ mit $1$ .

$\frac{2 (a^{1} a^{2}) + 2 a^{2} \cdot - 3 + 2 a \cdot a + 2 a \cdot - 3 - 7 a - 7 \cdot - 3 + (a + 1) (a + 2) (a - 1)}{(a + 2) (a - 1) (a - 3)}$

Schritt 10.2.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 a^{1 + 2} + 2 a^{2} \cdot - 3 + 2 a \cdot a + 2 a \cdot - 3 - 7 a - 7 \cdot - 3 + (a + 1) (a + 2) (a - 1)}{(a + 2) (a - 1) (a - 3)}$

Schritt 10.2.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{2 a^{3} + 2 a^{2} \cdot - 3 + 2 a \cdot a + 2 a \cdot - 3 - 7 a - 7 \cdot - 3 + (a + 1) (a + 2) (a - 1)}{(a + 2) (a - 1) (a - 3)}$

Schritt 10.2.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$\frac{2 a^{3} - 6 a^{2} + 2 a \cdot a + 2 a \cdot - 3 - 7 a - 7 \cdot - 3 + (a + 1) (a + 2) (a - 1)}{(a + 2) (a - 1) (a - 3)}$

Schritt 10.2.3

Multipliziere $a$ mit $a$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 10.2.3.1

Bewege $a$ .

$\frac{2 a^{3} - 6 a^{2} + 2 (a \cdot a) + 2 a \cdot - 3 - 7 a - 7 \cdot - 3 + (a + 1) (a + 2) (a - 1)}{(a + 2) (a - 1) (a - 3)}$

Schritt 10.2.3.2

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$\frac{2 a^{3} - 6 a^{2} + 2 a^{2} + 2 a \cdot - 3 - 7 a - 7 \cdot - 3 + (a + 1) (a + 2) (a - 1)}{(a + 2) (a - 1) (a - 3)}$

Schritt 10.2.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$\frac{2 a^{3} - 6 a^{2} + 2 a^{2} - 6 a - 7 a - 7 \cdot - 3 + (a + 1) (a + 2) (a - 1)}{(a + 2) (a - 1) (a - 3)}$

Schritt 10.2.5

Mutltipliziere $- 7$ mit $- 3$ .

$\frac{2 a^{3} - 6 a^{2} + 2 a^{2} - 6 a - 7 a + 21 + (a + 1) (a + 2) (a - 1)}{(a + 2) (a - 1) (a - 3)}$

Schritt 10.3

Addiere $- 6 a^{2}$ und $2 a^{2}$ .

$\frac{2 a^{3} - 4 a^{2} - 6 a - 7 a + 21 + (a + 1) (a + 2) (a - 1)}{(a + 2) (a - 1) (a - 3)}$

Schritt 10.4

Subtrahiere $7 a$ von $- 6 a$ .

$\frac{2 a^{3} - 4 a^{2} - 13 a + 21 + (a + 1) (a + 2) (a - 1)}{(a + 2) (a - 1) (a - 3)}$

Schritt 10.5

Multipliziere $(a + 1) (a + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 10.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 a^{3} - 4 a^{2} - 13 a + 21 + (a (a + 2) + 1 (a + 2)) (a - 1)}{(a + 2) (a - 1) (a - 3)}$

Schritt 10.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 a^{3} - 4 a^{2} - 13 a + 21 + (a \cdot a + a \cdot 2 + 1 (a + 2)) (a - 1)}{(a + 2) (a - 1) (a - 3)}$

Schritt 10.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 a^{3} - 4 a^{2} - 13 a + 21 + (a \cdot a + a \cdot 2 + 1 a + 1 \cdot 2) (a - 1)}{(a + 2) (a - 1) (a - 3)}$

Schritt 10.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 10.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.6.1.1

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$\frac{2 a^{3} - 4 a^{2} - 13 a + 21 + (a^{2} + a \cdot 2 + 1 a + 1 \cdot 2) (a - 1)}{(a + 2) (a - 1) (a - 3)}$

Schritt 10.6.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $a$ .

$\frac{2 a^{3} - 4 a^{2} - 13 a + 21 + (a^{2} + 2 \cdot a + 1 a + 1 \cdot 2) (a - 1)}{(a + 2) (a - 1) (a - 3)}$

Schritt 10.6.1.3

Mutltipliziere $a$ mit $1$ .

$\frac{2 a^{3} - 4 a^{2} - 13 a + 21 + (a^{2} + 2 a + a + 1 \cdot 2) (a - 1)}{(a + 2) (a - 1) (a - 3)}$

Schritt 10.6.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{2 a^{3} - 4 a^{2} - 13 a + 21 + (a^{2} + 2 a + a + 2) (a - 1)}{(a + 2) (a - 1) (a - 3)}$

Schritt 10.6.2

Addiere $2 a$ und $a$ .

$\frac{2 a^{3} - 4 a^{2} - 13 a + 21 + (a^{2} + 3 a + 2) (a - 1)}{(a + 2) (a - 1) (a - 3)}$

Schritt 10.7

Multipliziere $(a^{2} + 3 a + 2) (a - 1)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$\frac{2 a^{3} - 4 a^{2} - 13 a + 21 + a^{2} a + a^{2} \cdot - 1 + 3 a \cdot a + 3 a \cdot - 1 + 2 a + 2 \cdot - 1}{(a + 2) (a - 1) (a - 3)}$

Schritt 10.8

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.8.1

Multipliziere $a^{2}$ mit $a$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 10.8.1.1

Mutltipliziere $a^{2}$ mit $a$ .

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Schritt 10.8.1.1.1

Potenziere $a$ mit $1$ .

$\frac{2 a^{3} - 4 a^{2} - 13 a + 21 + a^{2} a^{1} + a^{2} \cdot - 1 + 3 a \cdot a + 3 a \cdot - 1 + 2 a + 2 \cdot - 1}{(a + 2) (a - 1) (a - 3)}$

Schritt 10.8.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 a^{3} - 4 a^{2} - 13 a + 21 + a^{2 + 1} + a^{2} \cdot - 1 + 3 a \cdot a + 3 a \cdot - 1 + 2 a + 2 \cdot - 1}{(a + 2) (a - 1) (a - 3)}$

Schritt 10.8.1.2

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{2 a^{3} - 4 a^{2} - 13 a + 21 + a^{3} + a^{2} \cdot - 1 + 3 a \cdot a + 3 a \cdot - 1 + 2 a + 2 \cdot - 1}{(a + 2) (a - 1) (a - 3)}$

Schritt 10.8.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $a^{2}$ .

$\frac{2 a^{3} - 4 a^{2} - 13 a + 21 + a^{3} - 1 \cdot a^{2} + 3 a \cdot a + 3 a \cdot - 1 + 2 a + 2 \cdot - 1}{(a + 2) (a - 1) (a - 3)}$

Schritt 10.8.3

Schreibe $- 1 a^{2}$ als $- a^{2}$ um.

$\frac{2 a^{3} - 4 a^{2} - 13 a + 21 + a^{3} - a^{2} + 3 a \cdot a + 3 a \cdot - 1 + 2 a + 2 \cdot - 1}{(a + 2) (a - 1) (a - 3)}$

Schritt 10.8.4

Multipliziere $a$ mit $a$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 10.8.4.1

Bewege $a$ .

$\frac{2 a^{3} - 4 a^{2} - 13 a + 21 + a^{3} - a^{2} + 3 (a \cdot a) + 3 a \cdot - 1 + 2 a + 2 \cdot - 1}{(a + 2) (a - 1) (a - 3)}$

Schritt 10.8.4.2

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$\frac{2 a^{3} - 4 a^{2} - 13 a + 21 + a^{3} - a^{2} + 3 a^{2} + 3 a \cdot - 1 + 2 a + 2 \cdot - 1}{(a + 2) (a - 1) (a - 3)}$

Schritt 10.8.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{2 a^{3} - 4 a^{2} - 13 a + 21 + a^{3} - a^{2} + 3 a^{2} - 3 a + 2 a + 2 \cdot - 1}{(a + 2) (a - 1) (a - 3)}$

Schritt 10.8.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 a^{3} - 4 a^{2} - 13 a + 21 + a^{3} - a^{2} + 3 a^{2} - 3 a + 2 a - 2}{(a + 2) (a - 1) (a - 3)}$

Schritt 10.9

Addiere $- a^{2}$ und $3 a^{2}$ .

$\frac{2 a^{3} - 4 a^{2} - 13 a + 21 + a^{3} + 2 a^{2} - 3 a + 2 a - 2}{(a + 2) (a - 1) (a - 3)}$

Schritt 10.10

Addiere $- 3 a$ und $2 a$ .

$\frac{2 a^{3} - 4 a^{2} - 13 a + 21 + a^{3} + 2 a^{2} - a - 2}{(a + 2) (a - 1) (a - 3)}$

Schritt 10.11

Addiere $2 a^{3}$ und $a^{3}$ .

$\frac{3 a^{3} - 4 a^{2} - 13 a + 21 + 2 a^{2} - a - 2}{(a + 2) (a - 1) (a - 3)}$

Schritt 10.12

Addiere $- 4 a^{2}$ und $2 a^{2}$ .

$\frac{3 a^{3} - 2 a^{2} - 13 a + 21 - a - 2}{(a + 2) (a - 1) (a - 3)}$

Schritt 10.13

Subtrahiere $a$ von $- 13 a$ .

$\frac{3 a^{3} - 2 a^{2} - 14 a + 21 - 2}{(a + 2) (a - 1) (a - 3)}$

Schritt 10.14

Subtrahiere $2$ von $21$ .

$\frac{3 a^{3} - 2 a^{2} - 14 a + 19}{(a + 2) (a - 1) (a - 3)}$