Grundlegende Mathematik Beispiele

$\frac{a - 2}{6 a^{2} - 7 a - 5} \div \frac{2 a}{3 a^{2} - 5 a} - \frac{3 a + 2}{2 a^{2} + 11 a + 5}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{a - 2}{6 a^{2} - 7 a - 5} \cdot \frac{3 a^{2} - 5 a}{2 a} - \frac{3 a + 2}{2 a^{2} + 11 a + 5}$

Schritt 1.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 6 \cdot - 5 = - 30$ und deren Summe gleich $b = - 7$ ist.

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Schritt 1.2.1.1

Faktorisiere $- 7$ aus $- 7 a$ heraus.

$\frac{a - 2}{6 a^{2} - 7 (a) - 5} \cdot \frac{3 a^{2} - 5 a}{2 a} - \frac{3 a + 2}{2 a^{2} + 11 a + 5}$

Schritt 1.2.1.2

Schreibe $- 7$ um als $3$ plus $- 10$

$\frac{a - 2}{6 a^{2} + (3 - 10) a - 5} \cdot \frac{3 a^{2} - 5 a}{2 a} - \frac{3 a + 2}{2 a^{2} + 11 a + 5}$

Schritt 1.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a - 2}{6 a^{2} + 3 a - 10 a - 5} \cdot \frac{3 a^{2} - 5 a}{2 a} - \frac{3 a + 2}{2 a^{2} + 11 a + 5}$

Schritt 1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{a - 2}{(6 a^{2} + 3 a) - 10 a - 5} \cdot \frac{3 a^{2} - 5 a}{2 a} - \frac{3 a + 2}{2 a^{2} + 11 a + 5}$

Schritt 1.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{a - 2}{3 a (2 a + 1) - 5 (2 a + 1)} \cdot \frac{3 a^{2} - 5 a}{2 a} - \frac{3 a + 2}{2 a^{2} + 11 a + 5}$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 a + 1$ .

$\frac{a - 2}{(2 a + 1) (3 a - 5)} \cdot \frac{3 a^{2} - 5 a}{2 a} - \frac{3 a + 2}{2 a^{2} + 11 a + 5}$

Schritt 1.3

Faktorisiere $a$ aus $3 a^{2} - 5 a$ heraus.

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Schritt 1.3.1

Faktorisiere $a$ aus $3 a^{2}$ heraus.

$\frac{a - 2}{(2 a + 1) (3 a - 5)} \cdot \frac{a (3 a) - 5 a}{2 a} - \frac{3 a + 2}{2 a^{2} + 11 a + 5}$

Schritt 1.3.2

Faktorisiere $a$ aus $- 5 a$ heraus.

$\frac{a - 2}{(2 a + 1) (3 a - 5)} \cdot \frac{a (3 a) + a \cdot - 5}{2 a} - \frac{3 a + 2}{2 a^{2} + 11 a + 5}$

Schritt 1.3.3

Faktorisiere $a$ aus $a (3 a) + a \cdot - 5$ heraus.

$\frac{a - 2}{(2 a + 1) (3 a - 5)} \cdot \frac{a (3 a - 5)}{2 a} - \frac{3 a + 2}{2 a^{2} + 11 a + 5}$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 a - 5$ .

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Schritt 1.4.1

Faktorisiere $3 a - 5$ aus $(2 a + 1) (3 a - 5)$ heraus.

$\frac{a - 2}{(3 a - 5) (2 a + 1)} \cdot \frac{a (3 a - 5)}{2 a} - \frac{3 a + 2}{2 a^{2} + 11 a + 5}$

Schritt 1.4.2

Faktorisiere $3 a - 5$ aus $a (3 a - 5)$ heraus.

$\frac{a - 2}{(3 a - 5) (2 a + 1)} \cdot \frac{(3 a - 5) a}{2 a} - \frac{3 a + 2}{2 a^{2} + 11 a + 5}$

Schritt 1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{a - 2}{(3 a - 5) (2 a + 1)} \cdot \frac{(3 a - 5) a}{2 a} - \frac{3 a + 2}{2 a^{2} + 11 a + 5}$

Schritt 1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{a - 2}{2 a + 1} \cdot \frac{a}{2 a} - \frac{3 a + 2}{2 a^{2} + 11 a + 5}$

Schritt 1.5

Mutltipliziere $\frac{a - 2}{2 a + 1}$ mit $\frac{a}{2 a}$ .

$\frac{(a - 2) a}{(2 a + 1) (2 a)} - \frac{3 a + 2}{2 a^{2} + 11 a + 5}$

Schritt 1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a$ .

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Schritt 1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(a - 2) a}{(2 a + 1) (2 a)} - \frac{3 a + 2}{2 a^{2} + 11 a + 5}$

Schritt 1.6.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{a - 2}{(2 a + 1) \cdot (2)} - \frac{3 a + 2}{2 a^{2} + 11 a + 5}$

Schritt 1.7

Bringe $2$ auf die linke Seite von $2 a + 1$ .

$\frac{a - 2}{2 \cdot (2 a + 1)} - \frac{3 a + 2}{2 a^{2} + 11 a + 5}$

Schritt 1.8

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.8.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot 5 = 10$ und deren Summe gleich $b = 11$ ist.

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Schritt 1.8.1.1

Faktorisiere $11$ aus $11 a$ heraus.

$\frac{a - 2}{2 (2 a + 1)} - \frac{3 a + 2}{2 a^{2} + 11 (a) + 5}$

Schritt 1.8.1.2

Schreibe $11$ um als $1$ plus $10$

$\frac{a - 2}{2 (2 a + 1)} - \frac{3 a + 2}{2 a^{2} + (1 + 10) a + 5}$

Schritt 1.8.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a - 2}{2 (2 a + 1)} - \frac{3 a + 2}{2 a^{2} + 1 a + 10 a + 5}$

Schritt 1.8.1.4

Mutltipliziere $a$ mit $1$ .

$\frac{a - 2}{2 (2 a + 1)} - \frac{3 a + 2}{2 a^{2} + a + 10 a + 5}$

Schritt 1.8.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.8.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{a - 2}{2 (2 a + 1)} - \frac{3 a + 2}{(2 a^{2} + a) + 10 a + 5}$

Schritt 1.8.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{a - 2}{2 (2 a + 1)} - \frac{3 a + 2}{a (2 a + 1) + 5 (2 a + 1)}$

Schritt 1.8.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 a + 1$ .

$\frac{a - 2}{2 (2 a + 1)} - \frac{3 a + 2}{(2 a + 1) (a + 5)}$

Schritt 2

Um $\frac{a - 2}{2 (2 a + 1)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{a + 5}{a + 5}$ .

$\frac{a - 2}{2 (2 a + 1)} \cdot \frac{a + 5}{a + 5} - \frac{3 a + 2}{(2 a + 1) (a + 5)}$

Schritt 3

Um $- \frac{3 a + 2}{(2 a + 1) (a + 5)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{a - 2}{2 (2 a + 1)} \cdot \frac{a + 5}{a + 5} - \frac{3 a + 2}{(2 a + 1) (a + 5)} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $2 (2 a + 1) (a + 5)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{a - 2}{2 (2 a + 1)}$ mit $\frac{a + 5}{a + 5}$ .

$\frac{(a - 2) (a + 5)}{2 (2 a + 1) (a + 5)} - \frac{3 a + 2}{(2 a + 1) (a + 5)} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{3 a + 2}{(2 a + 1) (a + 5)}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(a - 2) (a + 5)}{2 (2 a + 1) (a + 5)} - \frac{(3 a + 2) \cdot 2}{(2 a + 1) (a + 5) \cdot 2}$

Schritt 4.3

Stelle die Faktoren von $(2 a + 1) (a + 5) \cdot 2$ um.

$\frac{(a - 2) (a + 5)}{2 (2 a + 1) (a + 5)} - \frac{(3 a + 2) \cdot 2}{2 (2 a + 1) (a + 5)}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(a - 2) (a + 5) - (3 a + 2) \cdot 2}{2 (2 a + 1) (a + 5)}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Multipliziere $(a - 2) (a + 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a (a + 5) - 2 (a + 5) - (3 a + 2) \cdot 2}{2 (2 a + 1) (a + 5)}$

Schritt 6.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a \cdot a + a \cdot 5 - 2 (a + 5) - (3 a + 2) \cdot 2}{2 (2 a + 1) (a + 5)}$

Schritt 6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a \cdot a + a \cdot 5 - 2 a - 2 \cdot 5 - (3 a + 2) \cdot 2}{2 (2 a + 1) (a + 5)}$

Schritt 6.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$\frac{a^{2} + a \cdot 5 - 2 a - 2 \cdot 5 - (3 a + 2) \cdot 2}{2 (2 a + 1) (a + 5)}$

Schritt 6.2.1.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $a$ .

$\frac{a^{2} + 5 \cdot a - 2 a - 2 \cdot 5 - (3 a + 2) \cdot 2}{2 (2 a + 1) (a + 5)}$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $5$ .

$\frac{a^{2} + 5 a - 2 a - 10 - (3 a + 2) \cdot 2}{2 (2 a + 1) (a + 5)}$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $2 a$ von $5 a$ .

$\frac{a^{2} + 3 a - 10 - (3 a + 2) \cdot 2}{2 (2 a + 1) (a + 5)}$

Schritt 6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a^{2} + 3 a - 10 + (- (3 a) - 1 \cdot 2) \cdot 2}{2 (2 a + 1) (a + 5)}$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{a^{2} + 3 a - 10 + (- 3 a - 1 \cdot 2) \cdot 2}{2 (2 a + 1) (a + 5)}$

Schritt 6.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{a^{2} + 3 a - 10 + (- 3 a - 2) \cdot 2}{2 (2 a + 1) (a + 5)}$

Schritt 6.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a^{2} + 3 a - 10 - 3 a \cdot 2 - 2 \cdot 2}{2 (2 a + 1) (a + 5)}$

Schritt 6.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$\frac{a^{2} + 3 a - 10 - 6 a - 2 \cdot 2}{2 (2 a + 1) (a + 5)}$

Schritt 6.8

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{a^{2} + 3 a - 10 - 6 a - 4}{2 (2 a + 1) (a + 5)}$

Schritt 6.9

Subtrahiere $6 a$ von $3 a$ .

$\frac{a^{2} - 3 a - 10 - 4}{2 (2 a + 1) (a + 5)}$

Schritt 6.10

Subtrahiere $4$ von $- 10$ .

$\frac{a^{2} - 3 a - 14}{2 (2 a + 1) (a + 5)}$