Grundlegende Mathematik Beispiele

$\frac{y + 7}{y^{2} - y - 12} - \frac{5}{y^{2} - 16}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $y^{2} - y - 12$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 12$ und deren Summe $- 1$ ist.

$- 4, 3$

Schritt 1.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{y + 7}{(y - 4) (y + 3)} - \frac{5}{y^{2} - 16}$

Schritt 1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{y + 7}{(y - 4) (y + 3)} - \frac{5}{y^{2} - 4^{2}}$

Schritt 1.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = y$ und $b = 4$ .

$\frac{y + 7}{(y - 4) (y + 3)} - \frac{5}{(y + 4) (y - 4)}$

Schritt 2

Um $\frac{y + 7}{(y - 4) (y + 3)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{y + 4}{y + 4}$ .

$\frac{y + 7}{(y - 4) (y + 3)} \cdot \frac{y + 4}{y + 4} - \frac{5}{(y + 4) (y - 4)}$

Schritt 3

Um $- \frac{5}{(y + 4) (y - 4)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{y + 3}{y + 3}$ .

$\frac{y + 7}{(y - 4) (y + 3)} \cdot \frac{y + 4}{y + 4} - \frac{5}{(y + 4) (y - 4)} \cdot \frac{y + 3}{y + 3}$

Schritt 4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(y - 4) (y + 3) (y + 4)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{y + 7}{(y - 4) (y + 3)}$ mit $\frac{y + 4}{y + 4}$ .

$\frac{(y + 7) (y + 4)}{(y - 4) (y + 3) (y + 4)} - \frac{5}{(y + 4) (y - 4)} \cdot \frac{y + 3}{y + 3}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{5}{(y + 4) (y - 4)}$ mit $\frac{y + 3}{y + 3}$ .

$\frac{(y + 7) (y + 4)}{(y - 4) (y + 3) (y + 4)} - \frac{5 (y + 3)}{(y + 4) (y - 4) (y + 3)}$

Schritt 4.3

Stelle die Faktoren von $(y - 4) (y + 3) (y + 4)$ um.

$\frac{(y + 7) (y + 4)}{(y + 3) (y + 4) (y - 4)} - \frac{5 (y + 3)}{(y + 4) (y - 4) (y + 3)}$

Schritt 4.4

Stelle die Faktoren von $(y + 4) (y - 4) (y + 3)$ um.

$\frac{(y + 7) (y + 4)}{(y + 3) (y + 4) (y - 4)} - \frac{5 (y + 3)}{(y + 3) (y + 4) (y - 4)}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(y + 7) (y + 4) - 5 (y + 3)}{(y + 3) (y + 4) (y - 4)}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Multipliziere $(y + 7) (y + 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y (y + 4) + 7 (y + 4) - 5 (y + 3)}{(y + 3) (y + 4) (y - 4)}$

Schritt 6.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y \cdot y + y \cdot 4 + 7 (y + 4) - 5 (y + 3)}{(y + 3) (y + 4) (y - 4)}$

Schritt 6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y \cdot y + y \cdot 4 + 7 y + 7 \cdot 4 - 5 (y + 3)}{(y + 3) (y + 4) (y - 4)}$

Schritt 6.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$\frac{y^{2} + y \cdot 4 + 7 y + 7 \cdot 4 - 5 (y + 3)}{(y + 3) (y + 4) (y - 4)}$

Schritt 6.2.1.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $y$ .

$\frac{y^{2} + 4 \cdot y + 7 y + 7 \cdot 4 - 5 (y + 3)}{(y + 3) (y + 4) (y - 4)}$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $7$ mit $4$ .

$\frac{y^{2} + 4 y + 7 y + 28 - 5 (y + 3)}{(y + 3) (y + 4) (y - 4)}$

Schritt 6.2.2

Addiere $4 y$ und $7 y$ .

$\frac{y^{2} + 11 y + 28 - 5 (y + 3)}{(y + 3) (y + 4) (y - 4)}$

Schritt 6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y^{2} + 11 y + 28 - 5 y - 5 \cdot 3}{(y + 3) (y + 4) (y - 4)}$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $- 5$ mit $3$ .

$\frac{y^{2} + 11 y + 28 - 5 y - 15}{(y + 3) (y + 4) (y - 4)}$

Schritt 6.5

Subtrahiere $5 y$ von $11 y$ .

$\frac{y^{2} + 6 y + 28 - 15}{(y + 3) (y + 4) (y - 4)}$

Schritt 6.6

Subtrahiere $15$ von $28$ .

$\frac{y^{2} + 6 y + 13}{(y + 3) (y + 4) (y - 4)}$