Grundlegende Mathematik Beispiele

$\frac{4 r^{2} + 10 r}{(r - 4) (r + 5)} - 2 = \frac{4 r - 16}{(r - 4) (r + 5)}$

Schritt 1

Faktorisiere jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Faktorisiere $2 r$ aus $4 r^{2} + 10 r$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Faktorisiere $2 r$ aus $4 r^{2}$ heraus.

$\frac{2 r (2 r) + 10 r}{(r - 4) (r + 5)} - 2 = \frac{4 r - 16}{(r - 4) (r + 5)}$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $2 r$ aus $10 r$ heraus.

$\frac{2 r (2 r) + 2 r (5)}{(r - 4) (r + 5)} - 2 = \frac{4 r - 16}{(r - 4) (r + 5)}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $2 r$ aus $2 r (2 r) + 2 r (5)$ heraus.

$\frac{2 r (2 r + 5)}{(r - 4) (r + 5)} - 2 = \frac{4 r - 16}{(r - 4) (r + 5)}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $4$ aus $4 r - 16$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 r$ heraus.

$\frac{2 r (2 r + 5)}{(r - 4) (r + 5)} - 2 = \frac{4 (r) - 16}{(r - 4) (r + 5)}$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $4$ aus $- 16$ heraus.

$\frac{2 r (2 r + 5)}{(r - 4) (r + 5)} - 2 = \frac{4 r + 4 \cdot - 4}{(r - 4) (r + 5)}$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $4$ aus $4 r + 4 \cdot - 4$ heraus.

$\frac{2 r (2 r + 5)}{(r - 4) (r + 5)} - 2 = \frac{4 (r - 4)}{(r - 4) (r + 5)}$

Schritt 1.3

Vereinfache den Ausdruck $\frac{4 (r - 4)}{(r - 4) (r + 5)}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 r (2 r + 5)}{(r - 4) (r + 5)} - 2 = \frac{4 (r - 4)}{(r - 4) (r + 5)}$

Schritt 1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 r (2 r + 5)}{(r - 4) (r + 5)} - 2 = \frac{4}{r + 5}$

Schritt 2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$(r - 4) (r + 5), 1, r + 5$

Schritt 2.2

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 2.3

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 2.4

Das kgV von $1, 1, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$1$

Schritt 2.5

Der Teiler von $r - 4$ ist $r - 4$ selbst.

$(r - 4) = r - 4$

$(r - 4)$ occurs $1$ time.

Schritt 2.6

Der Teiler von $r + 5$ ist $r + 5$ selbst.

$(r + 5) = r + 5$

$(r + 5)$ occurs $1$ time.

Schritt 2.7

Das kgV von $r - 4, r + 5, r + 5$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Faktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$(r - 4) (r + 5)$

Schritt 3

Multipliziere jeden Term in $\frac{2 r (2 r + 5)}{(r - 4) (r + 5)} - 2 = \frac{4}{r + 5}$ mit $(r - 4) (r + 5)$ um die Brüche zu eliminieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{2 r (2 r + 5)}{(r - 4) (r + 5)} - 2 = \frac{4}{r + 5}$ mit $(r - 4) (r + 5)$ .

$\frac{2 r (2 r + 5)}{(r - 4) (r + 5)} ((r - 4) (r + 5)) - 2 ((r - 4) (r + 5)) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $(r - 4) (r + 5)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 r (2 r + 5)}{(r - 4) (r + 5)} ((r - 4) (r + 5)) - 2 ((r - 4) (r + 5)) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Schritt 3.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$2 r (2 r + 5) - 2 ((r - 4) (r + 5)) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Schritt 3.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 r (2 r) + 2 r \cdot 5 - 2 ((r - 4) (r + 5)) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Schritt 3.2.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \cdot 2 r \cdot r + 2 r \cdot 5 - 2 ((r - 4) (r + 5)) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Schritt 3.2.1.4

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$2 \cdot 2 r \cdot r + 10 r - 2 ((r - 4) (r + 5)) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Schritt 3.2.1.5

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.5.1

Multipliziere $r$ mit $r$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.5.1.1

Bewege $r$ .

$2 \cdot 2 (r \cdot r) + 10 r - 2 ((r - 4) (r + 5)) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Schritt 3.2.1.5.1.2

Mutltipliziere $r$ mit $r$ .

$2 \cdot 2 r^{2} + 10 r - 2 ((r - 4) (r + 5)) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Schritt 3.2.1.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 r^{2} + 10 r - 2 ((r - 4) (r + 5)) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Schritt 3.2.1.6

Multipliziere $(r - 4) (r + 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 r^{2} + 10 r - 2 (r (r + 5) - 4 (r + 5)) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Schritt 3.2.1.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 r^{2} + 10 r - 2 (r \cdot r + r \cdot 5 - 4 (r + 5)) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Schritt 3.2.1.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 r^{2} + 10 r - 2 (r \cdot r + r \cdot 5 - 4 r - 4 \cdot 5) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Schritt 3.2.1.7

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.7.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.7.1.1

Mutltipliziere $r$ mit $r$ .

$4 r^{2} + 10 r - 2 (r^{2} + r \cdot 5 - 4 r - 4 \cdot 5) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Schritt 3.2.1.7.1.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $r$ .

$4 r^{2} + 10 r - 2 (r^{2} + 5 \cdot r - 4 r - 4 \cdot 5) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Schritt 3.2.1.7.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $5$ .

$4 r^{2} + 10 r - 2 (r^{2} + 5 r - 4 r - 20) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Schritt 3.2.1.7.2

Subtrahiere $4 r$ von $5 r$ .

$4 r^{2} + 10 r - 2 (r^{2} + r - 20) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Schritt 3.2.1.8

Wende das Distributivgesetz an.

$4 r^{2} + 10 r - 2 r^{2} - 2 r - 2 \cdot - 20 = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Schritt 3.2.1.9

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 20$ .

$4 r^{2} + 10 r - 2 r^{2} - 2 r + 40 = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Schritt 3.2.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1

Subtrahiere $2 r^{2}$ von $4 r^{2}$ .

$2 r^{2} + 10 r - 2 r + 40 = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Schritt 3.2.2.2

Subtrahiere $2 r$ von $10 r$ .

$2 r^{2} + 8 r + 40 = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $r + 5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1.1

Faktorisiere $r + 5$ aus $(r - 4) (r + 5)$ heraus.

$2 r^{2} + 8 r + 40 = \frac{4}{r + 5} ((r + 5) (r - 4))$

Schritt 3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 r^{2} + 8 r + 40 = \frac{4}{r + 5} ((r + 5) (r - 4))$

Schritt 3.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$2 r^{2} + 8 r + 40 = 4 (r - 4)$

Schritt 3.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 r^{2} + 8 r + 40 = 4 r + 4 \cdot - 4$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 4$ .

$2 r^{2} + 8 r + 40 = 4 r - 16$

Schritt 4

Löse die Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Bringe alle Terme, die $r$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Subtrahiere $4 r$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 r^{2} + 8 r + 40 - 4 r = - 16$

Schritt 4.1.2

Subtrahiere $4 r$ von $8 r$ .

$2 r^{2} + 4 r + 40 = - 16$

Schritt 4.2

Addiere $16$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 r^{2} + 4 r + 40 + 16 = 0$

Schritt 4.3

Addiere $40$ und $16$ .

$2 r^{2} + 4 r + 56 = 0$

Schritt 4.4

Faktorisiere $2$ aus $2 r^{2} + 4 r + 56$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 r^{2}$ heraus.

$2 (r^{2}) + 4 r + 56 = 0$

Schritt 4.4.2

Faktorisiere $2$ aus $4 r$ heraus.

$2 (r^{2}) + 2 (2 r) + 56 = 0$

Schritt 4.4.3

Faktorisiere $2$ aus $56$ heraus.

$2 r^{2} + 2 (2 r) + 2 \cdot 28 = 0$

Schritt 4.4.4

Faktorisiere $2$ aus $2 r^{2} + 2 (2 r)$ heraus.

$2 (r^{2} + 2 r) + 2 \cdot 28 = 0$

Schritt 4.4.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (r^{2} + 2 r) + 2 \cdot 28$ heraus.

$2 (r^{2} + 2 r + 28) = 0$

Schritt 4.5

Teile jeden Ausdruck in $2 (r^{2} + 2 r + 28) = 0$ durch $2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.1

Teile jeden Ausdruck in $2 (r^{2} + 2 r + 28) = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 (r^{2} + 2 r + 28)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 4.5.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (r^{2} + 2 r + 28)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 4.5.2.1.2

Dividiere $r^{2} + 2 r + 28$ durch $1$ .

$r^{2} + 2 r + 28 = \frac{0}{2}$

Schritt 4.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$r^{2} + 2 r + 28 = 0$

Schritt 4.6

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.7

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 2$ und $c = 28$ in die Quadratformel ein und löse nach $r$ auf.

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 28)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.8

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.8.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.8.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$r = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 28}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.8.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 28$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.8.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$r = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 28}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.8.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $28$ .

$r = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 112}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.8.1.3

Subtrahiere $112$ von $4$ .

$r = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 108}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.8.1.4

Schreibe $- 108$ als $- 1 (108)$ um.

$r = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 108}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.8.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (108)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}$ um.

$r = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.8.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$r = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.8.1.7

Schreibe $108$ als $6^{2} \cdot 3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.8.1.7.1

Faktorisiere $36$ aus $108$ heraus.

$r = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{36 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.8.1.7.2

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$r = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{6^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.8.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$r = \frac{- 2 \pm i \cdot (6 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.8.1.9

Bringe $6$ auf die linke Seite von $i$ .

$r = \frac{- 2 \pm 6 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$r = \frac{- 2 \pm 6 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.8.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 6 i \sqrt{3}}{2}$ .

$r = - 1 \pm 3 i \sqrt{3}$

Schritt 4.9

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$r = - 1 + 3 i \sqrt{3}, - 1 - 3 i \sqrt{3}$