Grundlegende Mathematik Beispiele

$(\frac{w x + 4}{w x - 4}) - (\frac{w x - 4}{w x + 4}) = 1$

Schritt 1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$w x - 4, w x + 4, 1$

Schritt 1.2

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 1.3

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 1.4

Das kgV von $1, 1, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$1$

Schritt 1.5

Der Teiler von $w x - 4$ ist $w x - 4$ selbst.

$(w x - 4) = w x - 4$

$(w x - 4)$ occurs $1$ time.

Schritt 1.6

Der Teiler von $w x + 4$ ist $w x + 4$ selbst.

$(w x + 4) = w x + 4$

$(w x + 4)$ occurs $1$ time.

Schritt 1.7

Das kgV von $w x - 4, w x + 4$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Faktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$(w x - 4) (w x + 4)$

Schritt 2

Multipliziere jeden Term in $\frac{w x + 4}{w x - 4} - \frac{w x - 4}{w x + 4} = 1$ mit $(w x - 4) (w x + 4)$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{w x + 4}{w x - 4} - \frac{w x - 4}{w x + 4} = 1$ mit $(w x - 4) (w x + 4)$ .

$\frac{w x + 4}{w x - 4} ((w x - 4) (w x + 4)) - \frac{w x - 4}{w x + 4} ((w x - 4) (w x + 4)) = 1 ((w x - 4) (w x + 4))$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $w x - 4$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{w x + 4}{w x - 4} ((w x - 4) (w x + 4)) - \frac{w x - 4}{w x + 4} ((w x - 4) (w x + 4)) = 1 ((w x - 4) (w x + 4))$

Schritt 2.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$(w x + 4) (w x + 4) - \frac{w x - 4}{w x + 4} ((w x - 4) (w x + 4)) = 1 ((w x - 4) (w x + 4))$

Schritt 2.2.1.2

Potenziere $w x + 4$ mit $1$ .

${(w x + 4)}^{1} (w x + 4) - \frac{w x - 4}{w x + 4} ((w x - 4) (w x + 4)) = 1 ((w x - 4) (w x + 4))$

Schritt 2.2.1.3

Potenziere $w x + 4$ mit $1$ .

${(w x + 4)}^{1} {(w x + 4)}^{1} - \frac{w x - 4}{w x + 4} ((w x - 4) (w x + 4)) = 1 ((w x - 4) (w x + 4))$

Schritt 2.2.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${(w x + 4)}^{1 + 1} - \frac{w x - 4}{w x + 4} ((w x - 4) (w x + 4)) = 1 ((w x - 4) (w x + 4))$

Schritt 2.2.1.5

Addiere $1$ und $1$ .

${(w x + 4)}^{2} - \frac{w x - 4}{w x + 4} ((w x - 4) (w x + 4)) = 1 ((w x - 4) (w x + 4))$

Schritt 2.2.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $w x + 4$ .

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Schritt 2.2.1.6.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{w x - 4}{w x + 4}$ in den Zähler.

${(w x + 4)}^{2} + \frac{- (w x - 4)}{w x + 4} ((w x - 4) (w x + 4)) = 1 ((w x - 4) (w x + 4))$

Schritt 2.2.1.6.2

Faktorisiere $w x + 4$ aus $(w x - 4) (w x + 4)$ heraus.

${(w x + 4)}^{2} + \frac{- (w x - 4)}{w x + 4} ((w x + 4) (w x - 4)) = 1 ((w x - 4) (w x + 4))$

Schritt 2.2.1.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(w x + 4)}^{2} + \frac{- (w x - 4)}{w x + 4} ((w x + 4) (w x - 4)) = 1 ((w x - 4) (w x + 4))$

Schritt 2.2.1.6.4

Forme den Ausdruck um.

${(w x + 4)}^{2} - (w x - 4) (w x - 4) = 1 ((w x - 4) (w x + 4))$

Schritt 2.2.1.7

Potenziere $w x - 4$ mit $1$ .

${(w x + 4)}^{2} - ({(w x - 4)}^{1} (w x - 4)) = 1 ((w x - 4) (w x + 4))$

Schritt 2.2.1.8

Potenziere $w x - 4$ mit $1$ .

${(w x + 4)}^{2} - ({(w x - 4)}^{1} {(w x - 4)}^{1}) = 1 ((w x - 4) (w x + 4))$

Schritt 2.2.1.9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${(w x + 4)}^{2} - {(w x - 4)}^{1 + 1} = 1 ((w x - 4) (w x + 4))$

Schritt 2.2.1.10

Addiere $1$ und $1$ .

${(w x + 4)}^{2} - {(w x - 4)}^{2} = 1 ((w x - 4) (w x + 4))$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $(w x - 4) (w x + 4)$ mit $1$ .

${(w x + 4)}^{2} - {(w x - 4)}^{2} = (w x - 4) (w x + 4)$

Schritt 2.3.2

Multipliziere $(w x - 4) (w x + 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

${(w x + 4)}^{2} - {(w x - 4)}^{2} = w x (w x + 4) - 4 (w x + 4)$

Schritt 2.3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

${(w x + 4)}^{2} - {(w x - 4)}^{2} = w x (w x) + w x \cdot 4 - 4 (w x + 4)$

Schritt 2.3.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

${(w x + 4)}^{2} - {(w x - 4)}^{2} = w x (w x) + w x \cdot 4 - 4 (w x) - 4 \cdot 4$

Schritt 2.3.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.3.3.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $w x (w x) + w x \cdot 4 - 4 (w x) - 4 \cdot 4$ .

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Schritt 2.3.3.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen $w x \cdot 4$ und $- 4 (w x)$ neu an.

${(w x + 4)}^{2} - {(w x - 4)}^{2} = w x (w x) + 4 w x - 4 w x - 4 \cdot 4$

Schritt 2.3.3.1.2

Subtrahiere $4 w x$ von $4 w x$ .

${(w x + 4)}^{2} - {(w x - 4)}^{2} = w x (w x) + 0 - 4 \cdot 4$

Schritt 2.3.3.1.3

Addiere $w x (w x)$ und $0$ .

${(w x + 4)}^{2} - {(w x - 4)}^{2} = w x (w x) - 4 \cdot 4$

Schritt 2.3.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.3.2.1

Multipliziere $w$ mit $w$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.3.2.1.1

Bewege $w$ .

${(w x + 4)}^{2} - {(w x - 4)}^{2} = w \cdot w x \cdot x - 4 \cdot 4$

Schritt 2.3.3.2.1.2

Mutltipliziere $w$ mit $w$ .

${(w x + 4)}^{2} - {(w x - 4)}^{2} = w^{2} x \cdot x - 4 \cdot 4$

Schritt 2.3.3.2.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.3.2.2.1

Bewege $x$ .

${(w x + 4)}^{2} - {(w x - 4)}^{2} = w^{2} (x \cdot x) - 4 \cdot 4$

Schritt 2.3.3.2.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

${(w x + 4)}^{2} - {(w x - 4)}^{2} = w^{2} x^{2} - 4 \cdot 4$

Schritt 2.3.3.2.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

${(w x + 4)}^{2} - {(w x - 4)}^{2} = w^{2} x^{2} - 16$

Schritt 3

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die $w$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Subtrahiere $w^{2} x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

${(w x + 4)}^{2} - {(w x - 4)}^{2} - w^{2} x^{2} = - 16$

Schritt 3.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1

Schreibe ${(w x + 4)}^{2}$ als $(w x + 4) (w x + 4)$ um.

$(w x + 4) (w x + 4) - {(w x - 4)}^{2} - w^{2} x^{2} = - 16$

Schritt 3.1.2.2

Multipliziere $(w x + 4) (w x + 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.1.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$w x (w x + 4) + 4 (w x + 4) - {(w x - 4)}^{2} - w^{2} x^{2} = - 16$

Schritt 3.1.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$w x (w x) + w x \cdot 4 + 4 (w x + 4) - {(w x - 4)}^{2} - w^{2} x^{2} = - 16$

Schritt 3.1.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$w x (w x) + w x \cdot 4 + 4 (w x) + 4 \cdot 4 - {(w x - 4)}^{2} - w^{2} x^{2} = - 16$

Schritt 3.1.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.3.1.1

Multipliziere $w$ mit $w$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.2.3.1.1.1

Bewege $w$ .

$w \cdot w x \cdot x + w x \cdot 4 + 4 (w x) + 4 \cdot 4 - {(w x - 4)}^{2} - w^{2} x^{2} = - 16$

Schritt 3.1.2.3.1.1.2

Mutltipliziere $w$ mit $w$ .

$w^{2} x \cdot x + w x \cdot 4 + 4 (w x) + 4 \cdot 4 - {(w x - 4)}^{2} - w^{2} x^{2} = - 16$

Schritt 3.1.2.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.2.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$w^{2} (x \cdot x) + w x \cdot 4 + 4 (w x) + 4 \cdot 4 - {(w x - 4)}^{2} - w^{2} x^{2} = - 16$

Schritt 3.1.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$w^{2} x^{2} + w x \cdot 4 + 4 (w x) + 4 \cdot 4 - {(w x - 4)}^{2} - w^{2} x^{2} = - 16$

Schritt 3.1.2.3.1.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $w x$ .

$w^{2} x^{2} + 4 \cdot (w x) + 4 (w x) + 4 \cdot 4 - {(w x - 4)}^{2} - w^{2} x^{2} = - 16$

Schritt 3.1.2.3.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$w^{2} x^{2} + 4 w x + 4 w x + 16 - {(w x - 4)}^{2} - w^{2} x^{2} = - 16$

Schritt 3.1.2.3.2

Addiere $4 w x$ und $4 w x$ .

$w^{2} x^{2} + 8 w x + 16 - {(w x - 4)}^{2} - w^{2} x^{2} = - 16$

Schritt 3.1.2.4

Schreibe ${(w x - 4)}^{2}$ als $(w x - 4) (w x - 4)$ um.

$w^{2} x^{2} + 8 w x + 16 - ((w x - 4) (w x - 4)) - w^{2} x^{2} = - 16$

Schritt 3.1.2.5

Multipliziere $(w x - 4) (w x - 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.1.2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$w^{2} x^{2} + 8 w x + 16 - (w x (w x - 4) - 4 (w x - 4)) - w^{2} x^{2} = - 16$

Schritt 3.1.2.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$w^{2} x^{2} + 8 w x + 16 - (w x (w x) + w x \cdot - 4 - 4 (w x - 4)) - w^{2} x^{2} = - 16$

Schritt 3.1.2.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$w^{2} x^{2} + 8 w x + 16 - (w x (w x) + w x \cdot - 4 - 4 (w x) - 4 \cdot - 4) - w^{2} x^{2} = - 16$

Schritt 3.1.2.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1.2.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.6.1.1

Multipliziere $w$ mit $w$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.2.6.1.1.1

Bewege $w$ .

$w^{2} x^{2} + 8 w x + 16 - (w \cdot w x \cdot x + w x \cdot - 4 - 4 (w x) - 4 \cdot - 4) - w^{2} x^{2} = - 16$

Schritt 3.1.2.6.1.1.2

Mutltipliziere $w$ mit $w$ .

$w^{2} x^{2} + 8 w x + 16 - (w^{2} x \cdot x + w x \cdot - 4 - 4 (w x) - 4 \cdot - 4) - w^{2} x^{2} = - 16$

Schritt 3.1.2.6.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.2.6.1.2.1

Bewege $x$ .

$w^{2} x^{2} + 8 w x + 16 - (w^{2} (x \cdot x) + w x \cdot - 4 - 4 (w x) - 4 \cdot - 4) - w^{2} x^{2} = - 16$

Schritt 3.1.2.6.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$w^{2} x^{2} + 8 w x + 16 - (w^{2} x^{2} + w x \cdot - 4 - 4 (w x) - 4 \cdot - 4) - w^{2} x^{2} = - 16$

Schritt 3.1.2.6.1.3

Bringe $- 4$ auf die linke Seite von $w x$ .

$w^{2} x^{2} + 8 w x + 16 - (w^{2} x^{2} - 4 \cdot (w x) - 4 (w x) - 4 \cdot - 4) - w^{2} x^{2} = - 16$

Schritt 3.1.2.6.1.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$w^{2} x^{2} + 8 w x + 16 - (w^{2} x^{2} - 4 w x - 4 w x + 16) - w^{2} x^{2} = - 16$

Schritt 3.1.2.6.2

Subtrahiere $4 w x$ von $- 4 w x$ .

$w^{2} x^{2} + 8 w x + 16 - (w^{2} x^{2} - 8 w x + 16) - w^{2} x^{2} = - 16$

Schritt 3.1.2.7

Wende das Distributivgesetz an.

$w^{2} x^{2} + 8 w x + 16 - (w^{2} x^{2}) - (- 8 w x) - 1 \cdot 16 - w^{2} x^{2} = - 16$

Schritt 3.1.2.8

Vereinfache.

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Schritt 3.1.2.8.1

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 1$ .

$w^{2} x^{2} + 8 w x + 16 - w^{2} x^{2} + 8 (w x) - 1 \cdot 16 - w^{2} x^{2} = - 16$

Schritt 3.1.2.8.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$w^{2} x^{2} + 8 w x + 16 - w^{2} x^{2} + 8 (w x) - 16 - w^{2} x^{2} = - 16$

$w^{2} x^{2} + 8 w x + 16 - w^{2} x^{2} + 8 w x - 16 - w^{2} x^{2} = - 16$

Schritt 3.1.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $w^{2} x^{2} + 8 w x + 16 - w^{2} x^{2} + 8 w x - 16 - w^{2} x^{2}$ .

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Schritt 3.1.3.1

Subtrahiere $w^{2} x^{2}$ von $w^{2} x^{2}$ .

$8 w x + 16 + 0 + 8 w x - 16 - w^{2} x^{2} = - 16$

Schritt 3.1.3.2

Addiere $8 w x + 16$ und $0$ .

$8 w x + 16 + 8 w x - 16 - w^{2} x^{2} = - 16$

Schritt 3.1.3.3

Subtrahiere $16$ von $16$ .

$8 w x + 8 w x + 0 - w^{2} x^{2} = - 16$

Schritt 3.1.3.4

Addiere $8 w x + 8 w x$ und $0$ .

$8 w x + 8 w x - w^{2} x^{2} = - 16$

Schritt 3.1.4

Addiere $8 w x$ und $8 w x$ .

$16 w x - w^{2} x^{2} = - 16$

Schritt 3.2

Addiere $16$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$16 w x - w^{2} x^{2} + 16 = 0$

Schritt 3.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.4

Setze die Werte $a = - x^{2}$ , $b = 16 x$ und $c = 16$ in die Quadratformel ein und löse nach $w$ auf.

$\frac{- 16 x \pm \sqrt{{(16 x)}^{2} - 4 \cdot (- x^{2} \cdot 16)}}{2 (- x^{2})}$

Schritt 3.5

Vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.1.1

Füge Klammern hinzu.

$w = \frac{- 16 x \pm \sqrt{{(16 x)}^{2} - 4 \cdot (- (x^{2} \cdot 16))}}{2 (- x^{2})}$

Schritt 3.5.1.2

Es sei $u = - (x^{2} \cdot 16)$ . Ersetze $u$ für alle $- (x^{2} \cdot 16)$ .

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Schritt 3.5.1.2.1

Wende die Produktregel auf $16 x$ an.

$w = \frac{- 16 x \pm \sqrt{16^{2} x^{2} - 4 \cdot u}}{2 (- x^{2})}$

Schritt 3.5.1.2.2

Potenziere $16$ mit $2$ .

$w = \frac{- 16 x \pm \sqrt{256 x^{2} - 4 u}}{2 (- x^{2})}$

Schritt 3.5.1.3

Faktorisiere $4$ aus $256 x^{2} - 4 u$ heraus.

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Schritt 3.5.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $256 x^{2}$ heraus.

$w = \frac{- 16 x \pm \sqrt{4 (64 x^{2}) - 4 u}}{2 (- x^{2})}$

Schritt 3.5.1.3.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4 u$ heraus.

$w = \frac{- 16 x \pm \sqrt{4 (64 x^{2}) + 4 (- u)}}{2 (- x^{2})}$

Schritt 3.5.1.3.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (64 x^{2}) + 4 (- u)$ heraus.

$w = \frac{- 16 x \pm \sqrt{4 (64 x^{2} - u)}}{2 (- x^{2})}$

Schritt 3.5.1.4

Ersetze alle $u$ durch $- (x^{2} \cdot 16)$ .

$w = \frac{- 16 x \pm \sqrt{4 (64 x^{2} + x^{2} \cdot 16)}}{2 (- x^{2})}$

Schritt 3.5.1.5

Vereinfache.

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Schritt 3.5.1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.1.5.1.1

Bringe $16$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$w = \frac{- 16 x \pm \sqrt{4 (64 x^{2} + 16 \cdot x^{2})}}{2 (- x^{2})}$

Schritt 3.5.1.5.1.2

Mutltipliziere $16$ mit $- 1$ .

$w = \frac{- 16 x \pm \sqrt{4 (64 x^{2} - (- 16 x^{2}))}}{2 (- x^{2})}$

Schritt 3.5.1.5.1.3

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 1$ .

$w = \frac{- 16 x \pm \sqrt{4 (64 x^{2} + 16 x^{2})}}{2 (- x^{2})}$

Schritt 3.5.1.5.2

Addiere $64 x^{2}$ und $16 x^{2}$ .

$w = \frac{- 16 x \pm \sqrt{4 (80 x^{2})}}{2 (- x^{2})}$

$w = \frac{- 16 x \pm \sqrt{4 \cdot (80 x^{2})}}{2 (- x^{2})}$

Schritt 3.5.1.6

Mutltipliziere $4$ mit $80$ .

$w = \frac{- 16 x \pm \sqrt{320 x^{2}}}{2 (- x^{2})}$

Schritt 3.5.1.7

Schreibe $320 x^{2}$ als ${(8 x)}^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 3.5.1.7.1

Faktorisiere $64$ aus $320$ heraus.

$w = \frac{- 16 x \pm \sqrt{64 (5) x^{2}}}{2 (- x^{2})}$

Schritt 3.5.1.7.2

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$w = \frac{- 16 x \pm \sqrt{8^{2} \cdot (5 x^{2})}}{2 (- x^{2})}$

Schritt 3.5.1.7.3

Bewege $5$ .

$w = \frac{- 16 x \pm \sqrt{8^{2} x^{2} \cdot 5}}{2 (- x^{2})}$

Schritt 3.5.1.7.4

Schreibe $8^{2} x^{2}$ als ${(8 x)}^{2}$ um.

$w = \frac{- 16 x \pm \sqrt{{(8 x)}^{2} \cdot 5}}{2 (- x^{2})}$

Schritt 3.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$w = \frac{- 16 x \pm 8 x \sqrt{5}}{2 (- x^{2})}$

Schritt 3.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$w = \frac{- 16 x \pm 8 x \sqrt{5}}{- 2 x^{2}}$

Schritt 3.5.3

Vereinfache $\frac{- 16 x \pm 8 x \sqrt{5}}{- 2 x^{2}}$ .

$w = \frac{8 \pm 4 \sqrt{5}}{x}$

Schritt 3.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$w = \frac{8 + 4 \sqrt{5}}{x}$

$w = \frac{8 - 4 \sqrt{5}}{x}$

$w = \frac{8 + 4 \sqrt{5}}{x}$

$w = \frac{8 - 4 \sqrt{5}}{x}$