Grundlegende Mathematik Beispiele

$\sqrt{7 w} - 2 = \sqrt{4 w} + 10$

Schritt 1

Löse nach $\sqrt{7 w}$ auf.

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Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\sqrt{7 w} - 2 = \sqrt{2^{2} w} + 10$

Schritt 1.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\sqrt{7 w} - 2 = 2 \sqrt{w} + 10$

Schritt 1.2

Bringe alle Terme, die nicht $\sqrt{7 w}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{7 w} = 2 \sqrt{w} + 10 + 2$

Schritt 1.2.2

Addiere $10$ und $2$ .

$\sqrt{7 w} = 2 \sqrt{w} + 12$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{7 w}}^{2} = {(2 \sqrt{w} + 12)}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{7 w}$ als ${(7 w)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(7 w)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 \sqrt{w} + 12)}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${({(7 w)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(7 w)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(7 w)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 \sqrt{w} + 12)}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(7 w)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 \sqrt{w} + 12)}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(7 w)}^{1} = {(2 \sqrt{w} + 12)}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache.

$7 w = {(2 \sqrt{w} + 12)}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache ${(2 \sqrt{w} + 12)}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Schreibe ${(2 \sqrt{w} + 12)}^{2}$ als $(2 \sqrt{w} + 12) (2 \sqrt{w} + 12)$ um.

$7 w = (2 \sqrt{w} + 12) (2 \sqrt{w} + 12)$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $(2 \sqrt{w} + 12) (2 \sqrt{w} + 12)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$7 w = 2 \sqrt{w} (2 \sqrt{w} + 12) + 12 (2 \sqrt{w} + 12)$

Schritt 3.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$7 w = 2 \sqrt{w} (2 \sqrt{w}) + 2 \sqrt{w} \cdot 12 + 12 (2 \sqrt{w} + 12)$

Schritt 3.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$7 w = 2 \sqrt{w} (2 \sqrt{w}) + 2 \sqrt{w} \cdot 12 + 12 (2 \sqrt{w}) + 12 \cdot 12$

Schritt 3.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.3.1.1

Multipliziere $2 \sqrt{w} (2 \sqrt{w})$ .

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Schritt 3.3.1.3.1.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$7 w = 4 \sqrt{w} \sqrt{w} + 2 \sqrt{w} \cdot 12 + 12 (2 \sqrt{w}) + 12 \cdot 12$

Schritt 3.3.1.3.1.1.2

Potenziere $\sqrt{w}$ mit $1$ .

$7 w = 4 ({\sqrt{w}}^{1} \sqrt{w}) + 2 \sqrt{w} \cdot 12 + 12 (2 \sqrt{w}) + 12 \cdot 12$

Schritt 3.3.1.3.1.1.3

Potenziere $\sqrt{w}$ mit $1$ .

$7 w = 4 ({\sqrt{w}}^{1} {\sqrt{w}}^{1}) + 2 \sqrt{w} \cdot 12 + 12 (2 \sqrt{w}) + 12 \cdot 12$

Schritt 3.3.1.3.1.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$7 w = 4 {\sqrt{w}}^{1 + 1} + 2 \sqrt{w} \cdot 12 + 12 (2 \sqrt{w}) + 12 \cdot 12$

Schritt 3.3.1.3.1.1.5

Addiere $1$ und $1$ .

$7 w = 4 {\sqrt{w}}^{2} + 2 \sqrt{w} \cdot 12 + 12 (2 \sqrt{w}) + 12 \cdot 12$

Schritt 3.3.1.3.1.2

Schreibe ${\sqrt{w}}^{2}$ als $w$ um.

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Schritt 3.3.1.3.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{w}$ als $w^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$7 w = 4 {(w^{\frac{1}{2}})}^{2} + 2 \sqrt{w} \cdot 12 + 12 (2 \sqrt{w}) + 12 \cdot 12$

Schritt 3.3.1.3.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$7 w = 4 w^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 2 \sqrt{w} \cdot 12 + 12 (2 \sqrt{w}) + 12 \cdot 12$

Schritt 3.3.1.3.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$7 w = 4 w^{\frac{2}{2}} + 2 \sqrt{w} \cdot 12 + 12 (2 \sqrt{w}) + 12 \cdot 12$

Schritt 3.3.1.3.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.3.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$7 w = 4 w^{\frac{2}{2}} + 2 \sqrt{w} \cdot 12 + 12 (2 \sqrt{w}) + 12 \cdot 12$

Schritt 3.3.1.3.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$7 w = 4 w^{1} + 2 \sqrt{w} \cdot 12 + 12 (2 \sqrt{w}) + 12 \cdot 12$

Schritt 3.3.1.3.1.2.5

Vereinfache.

$7 w = 4 w + 2 \sqrt{w} \cdot 12 + 12 (2 \sqrt{w}) + 12 \cdot 12$

Schritt 3.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $12$ mit $2$ .

$7 w = 4 w + 24 \sqrt{w} + 12 (2 \sqrt{w}) + 12 \cdot 12$

Schritt 3.3.1.3.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $12$ .

$7 w = 4 w + 24 \sqrt{w} + 24 \sqrt{w} + 12 \cdot 12$

Schritt 3.3.1.3.1.5

Mutltipliziere $12$ mit $12$ .

$7 w = 4 w + 24 \sqrt{w} + 24 \sqrt{w} + 144$

Schritt 3.3.1.3.2

Addiere $24 \sqrt{w}$ und $24 \sqrt{w}$ .

$7 w = 4 w + 48 \sqrt{w} + 144$

Schritt 4

Löse nach $48 \sqrt{w}$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $4 w + 48 \sqrt{w} + 144 = 7 w$ um.

$4 w + 48 \sqrt{w} + 144 = 7 w$

Schritt 4.2

Bringe alle Terme, die nicht $48 \sqrt{w}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $4 w$ von beiden Seiten der Gleichung.

$48 \sqrt{w} + 144 = 7 w - 4 w$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $144$ von beiden Seiten der Gleichung.

$48 \sqrt{w} = 7 w - 4 w - 144$

Schritt 4.2.3

Subtrahiere $4 w$ von $7 w$ .

$48 \sqrt{w} = 3 w - 144$

Schritt 5

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(48 \sqrt{w})}^{2} = {(3 w - 144)}^{2}$

Schritt 6

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{w}$ als $w^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(48 w^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 w - 144)}^{2}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache ${(48 w^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.2.1.1

Wende die Produktregel auf $48 w^{\frac{1}{2}}$ an.

$48^{2} {(w^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 w - 144)}^{2}$

Schritt 6.2.1.2

Potenziere $48$ mit $2$ .

$2304 {(w^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 w - 144)}^{2}$

Schritt 6.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(w^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2304 w^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 w - 144)}^{2}$

Schritt 6.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2304 w^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 w - 144)}^{2}$

Schritt 6.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$2304 w^{1} = {(3 w - 144)}^{2}$

Schritt 6.2.1.4

Vereinfache.

$2304 w = {(3 w - 144)}^{2}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Vereinfache ${(3 w - 144)}^{2}$ .

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Schritt 6.3.1.1

Schreibe ${(3 w - 144)}^{2}$ als $(3 w - 144) (3 w - 144)$ um.

$2304 w = (3 w - 144) (3 w - 144)$

Schritt 6.3.1.2

Multipliziere $(3 w - 144) (3 w - 144)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2304 w = 3 w (3 w - 144) - 144 (3 w - 144)$

Schritt 6.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2304 w = 3 w (3 w) + 3 w \cdot - 144 - 144 (3 w - 144)$

Schritt 6.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2304 w = 3 w (3 w) + 3 w \cdot - 144 - 144 (3 w) - 144 \cdot - 144$

Schritt 6.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2304 w = 3 \cdot 3 w \cdot w + 3 w \cdot - 144 - 144 (3 w) - 144 \cdot - 144$

Schritt 6.3.1.3.1.2

Multipliziere $w$ mit $w$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.3.1.3.1.2.1

Bewege $w$ .

$2304 w = 3 \cdot 3 (w \cdot w) + 3 w \cdot - 144 - 144 (3 w) - 144 \cdot - 144$

Schritt 6.3.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $w$ mit $w$ .

$2304 w = 3 \cdot 3 w^{2} + 3 w \cdot - 144 - 144 (3 w) - 144 \cdot - 144$

Schritt 6.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$2304 w = 9 w^{2} + 3 w \cdot - 144 - 144 (3 w) - 144 \cdot - 144$

Schritt 6.3.1.3.1.4

Mutltipliziere $- 144$ mit $3$ .

$2304 w = 9 w^{2} - 432 w - 144 (3 w) - 144 \cdot - 144$

Schritt 6.3.1.3.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 144$ .

$2304 w = 9 w^{2} - 432 w - 432 w - 144 \cdot - 144$

Schritt 6.3.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 144$ mit $- 144$ .

$2304 w = 9 w^{2} - 432 w - 432 w + 20736$

Schritt 6.3.1.3.2

Subtrahiere $432 w$ von $- 432 w$ .

$2304 w = 9 w^{2} - 864 w + 20736$

Schritt 7

Löse nach $w$ auf.

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Schritt 7.1

Da $w$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$9 w^{2} - 864 w + 20736 = 2304 w$

Schritt 7.2

Bringe alle Terme, die $w$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 7.2.1

Subtrahiere $2304 w$ von beiden Seiten der Gleichung.

$9 w^{2} - 864 w + 20736 - 2304 w = 0$

Schritt 7.2.2

Subtrahiere $2304 w$ von $- 864 w$ .

$9 w^{2} - 3168 w + 20736 = 0$

Schritt 7.3

Faktorisiere $9$ aus $9 w^{2} - 3168 w + 20736$ heraus.

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Schritt 7.3.1

Faktorisiere $9$ aus $9 w^{2}$ heraus.

$9 (w^{2}) - 3168 w + 20736 = 0$

Schritt 7.3.2

Faktorisiere $9$ aus $- 3168 w$ heraus.

$9 (w^{2}) + 9 (- 352 w) + 20736 = 0$

Schritt 7.3.3

Faktorisiere $9$ aus $20736$ heraus.

$9 w^{2} + 9 (- 352 w) + 9 \cdot 2304 = 0$

Schritt 7.3.4

Faktorisiere $9$ aus $9 w^{2} + 9 (- 352 w)$ heraus.

$9 (w^{2} - 352 w) + 9 \cdot 2304 = 0$

Schritt 7.3.5

Faktorisiere $9$ aus $9 (w^{2} - 352 w) + 9 \cdot 2304$ heraus.

$9 (w^{2} - 352 w + 2304) = 0$

Schritt 7.4

Teile jeden Ausdruck in $9 (w^{2} - 352 w + 2304) = 0$ durch $9$ und vereinfache.

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Schritt 7.4.1

Teile jeden Ausdruck in $9 (w^{2} - 352 w + 2304) = 0$ durch $9$ .

$\frac{9 (w^{2} - 352 w + 2304)}{9} = \frac{0}{9}$

Schritt 7.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 7.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 (w^{2} - 352 w + 2304)}{9} = \frac{0}{9}$

Schritt 7.4.2.1.2

Dividiere $w^{2} - 352 w + 2304$ durch $1$ .

$w^{2} - 352 w + 2304 = \frac{0}{9}$

Schritt 7.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.4.3.1

Dividiere $0$ durch $9$ .

$w^{2} - 352 w + 2304 = 0$

Schritt 7.5

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 7.6

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 352$ und $c = 2304$ in die Quadratformel ein und löse nach $w$ auf.

$\frac{352 \pm \sqrt{{(- 352)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2304)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.7

Vereinfache.

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Schritt 7.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.7.1.1

Potenziere $- 352$ mit $2$ .

$w = \frac{352 \pm \sqrt{123904 - 4 \cdot 1 \cdot 2304}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 2304$ .

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Schritt 7.7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$w = \frac{352 \pm \sqrt{123904 - 4 \cdot 2304}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.7.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2304$ .

$w = \frac{352 \pm \sqrt{123904 - 9216}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.7.1.3

Subtrahiere $9216$ von $123904$ .

$w = \frac{352 \pm \sqrt{114688}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.7.1.4

Schreibe $114688$ als $128^{2} \cdot 7$ um.

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Schritt 7.7.1.4.1

Faktorisiere $16384$ aus $114688$ heraus.

$w = \frac{352 \pm \sqrt{16384 (7)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.7.1.4.2

Schreibe $16384$ als $128^{2}$ um.

$w = \frac{352 \pm \sqrt{128^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$w = \frac{352 \pm 128 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$w = \frac{352 \pm 128 \sqrt{7}}{2}$

Schritt 7.7.3

Vereinfache $\frac{352 \pm 128 \sqrt{7}}{2}$ .

$w = 176 \pm 64 \sqrt{7}$

Schritt 7.8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$w = 176 + 64 \sqrt{7}, 176 - 64 \sqrt{7}$

Schritt 8

Schließe die Lösungen aus, die $\sqrt{7 w} - 2 = \sqrt{4 w} + 10$ nicht erfüllen.

$w = 176 + 64 \sqrt{7}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$w = 176 + 64 \sqrt{7}$

Dezimalform:

$w = 345.32808390 \dots$