Grundlegende Mathematik Beispiele

$3 (10^{6 y}) = 11 (10^{3 y}) + 4$

Schritt 1

Subtrahiere $11 \cdot 10^{3 y}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 \cdot 10^{6 y} - 11 \cdot 10^{3 y} = 4$

Schritt 2

Schreibe $10^{6 y}$ als Potenz um.

$3 \cdot {(10^{y})}^{6} - 11 \cdot 10^{3 y} = 4$

Schritt 3

Schreibe $10^{3 y}$ als Potenz um.

$3 \cdot {(10^{y})}^{6} - 11 \cdot {(10^{y})}^{3} = 4$

Schritt 4

Ersetze $10^{y}$ durch $u$ .

$3 \cdot u^{6} - 11 \cdot u^{3} = 4$

Schritt 5

Mutltipliziere $- 11$ mit $u^{3}$ .

$3 u^{6} - 11 u^{3} = 4$

Schritt 6

Löse nach $u$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 u^{6} - 11 u^{3} - 4 = 0$

Schritt 6.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Schreibe $u^{6}$ als ${(u^{3})}^{2}$ um.

$3 {(u^{3})}^{2} - 11 u^{3} - 4 = 0$

Schritt 6.2.2

Es sei $u = u^{3}$ . Ersetze $u$ für alle $u^{3}$ .

$3 u^{2} - 11 u - 4 = 0$

Schritt 6.2.3

Faktorisiere durch Gruppieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot - 4 = - 12$ und deren Summe gleich $b = - 11$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.1.1

Faktorisiere $- 11$ aus $- 11 u$ heraus.

$3 u^{2} - 11 u - 4 = 0$

Schritt 6.2.3.1.2

Schreibe $- 11$ um als $1$ plus $- 12$

$3 u^{2} + (1 - 12) u - 4 = 0$

Schritt 6.2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 u^{2} + 1 u - 12 u - 4 = 0$

Schritt 6.2.3.1.4

Mutltipliziere $u$ mit $1$ .

$3 u^{2} + u - 12 u - 4 = 0$

Schritt 6.2.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(3 u^{2} + u) - 12 u - 4 = 0$

Schritt 6.2.3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$u (3 u + 1) - 4 (3 u + 1) = 0$

Schritt 6.2.3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 u + 1$ .

$(3 u + 1) (u - 4) = 0$

Schritt 6.2.4

Ersetze alle $u$ durch $u^{3}$ .

$(3 u^{3} + 1) (u^{3} - 4) = 0$

Schritt 6.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 u^{3} + 1 = 0$

$u^{3} - 4 = 0$

Schritt 6.4

Setze $3 u^{3} + 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.1

Setze $3 u^{3} + 1$ gleich $0$ .

$3 u^{3} + 1 = 0$

Schritt 6.4.2

Löse $3 u^{3} + 1 = 0$ nach $u$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 u^{3} = - 1$

Schritt 6.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 u^{3} = - 1$ durch $3$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 u^{3} = - 1$ durch $3$ .

$\frac{3 u^{3}}{3} = \frac{- 1}{3}$

Schritt 6.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 u^{3}}{3} = \frac{- 1}{3}$

Schritt 6.4.2.2.2.1.2

Dividiere $u^{3}$ durch $1$ .

$u^{3} = \frac{- 1}{3}$

Schritt 6.4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$u^{3} = - \frac{1}{3}$

Schritt 6.4.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \sqrt[3]{- \frac{1}{3}}$

Schritt 6.4.2.4

Vereinfache $\sqrt[3]{- \frac{1}{3}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.2.4.1

Schreibe $- \frac{1}{3}$ als ${({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{1}{3}$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.2.4.1.1

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{3}$ um.

$u = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \frac{1}{3}}$

Schritt 6.4.2.4.1.2

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{3}$ um.

$u = \sqrt[3]{{({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{1}{3}}$

Schritt 6.4.2.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$u = {(- 1)}^{3} \sqrt[3]{\frac{1}{3}}$

Schritt 6.4.2.4.3

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$u = - \sqrt[3]{\frac{1}{3}}$

Schritt 6.4.2.4.4

Schreibe $\sqrt[3]{\frac{1}{3}}$ als $\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{3}}$ um.

$u = - \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{3}}$

Schritt 6.4.2.4.5

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$u = - \frac{1}{\sqrt[3]{3}}$

Schritt 6.4.2.4.6

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}}$ .

$u = - (\frac{1}{\sqrt[3]{3}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}})$

Schritt 6.4.2.4.7

Vereinige und vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.2.4.7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}}$ .

$u = - \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{3}}^{2}}$

Schritt 6.4.2.4.7.2

Potenziere $\sqrt[3]{3}$ mit $1$ .

$u = - \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{1} {\sqrt[3]{3}}^{2}}$

Schritt 6.4.2.4.7.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$u = - \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{1 + 2}}$

Schritt 6.4.2.4.7.4

Addiere $1$ und $2$ .

$u = - \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{3}}$

Schritt 6.4.2.4.7.5

Schreibe ${\sqrt[3]{3}}^{3}$ als $3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.2.4.7.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{3}$ als $3^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$u = - \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{(3^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Schritt 6.4.2.4.7.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u = - \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Schritt 6.4.2.4.7.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$u = - \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 6.4.2.4.7.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.2.4.7.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u = - \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 6.4.2.4.7.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$u = - \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{1}}$

Schritt 6.4.2.4.7.5.5

Berechne den Exponenten.

$u = - \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{3}$

Schritt 6.4.2.4.8

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.2.4.8.1

Schreibe ${\sqrt[3]{3}}^{2}$ als $\sqrt[3]{3^{2}}$ um.

$u = - \frac{\sqrt[3]{3^{2}}}{3}$

Schritt 6.4.2.4.8.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$u = - \frac{\sqrt[3]{9}}{3}$

Schritt 6.5

Setze $u^{3} - 4$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.5.1

Setze $u^{3} - 4$ gleich $0$ .

$u^{3} - 4 = 0$

Schritt 6.5.2

Löse $u^{3} - 4 = 0$ nach $u$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.5.2.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u^{3} = 4$

Schritt 6.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \sqrt[3]{4}$

Schritt 6.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(3 u^{3} + 1) (u^{3} - 4) = 0$ wahr machen.

$u = - \frac{\sqrt[3]{9}}{3}, \sqrt[3]{4}$

Schritt 7

Setze $- \frac{\sqrt[3]{9}}{3}$ für $u$ in $u = 10^{y}$ ein.

$- \frac{\sqrt[3]{9}}{3} = 10^{y}$

Schritt 8

Löse $- \frac{\sqrt[3]{9}}{3} = 10^{y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Schreibe die Gleichung als $10^{y} = - \frac{\sqrt[3]{9}}{3}$ um.

$10^{y} = - \frac{\sqrt[3]{9}}{3}$

Schritt 8.2

Wende auf beiden Seiten der Gleichung den logarithmische Basis $10$ an, um die Variable aus dem Exponenten zu eliminieren.

$\log (10^{y}) = \log (- \frac{\sqrt[3]{9}}{3})$

Schritt 8.3

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\log (- \frac{\sqrt[3]{9}}{3})$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 8.4

Es gibt keine Lösung für $10^{y} = - \frac{\sqrt[3]{9}}{3}$

Keine Lösung

Schritt 9

Setze $\sqrt[3]{4}$ für $u$ in $u = 10^{y}$ ein.

$\sqrt[3]{4} = 10^{y}$

Schritt 10

Löse $\sqrt[3]{4} = 10^{y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Schreibe die Gleichung als $10^{y} = \sqrt[3]{4}$ um.

$10^{y} = \sqrt[3]{4}$

Schritt 10.2

Wende auf beiden Seiten der Gleichung den logarithmische Basis $10$ an, um die Variable aus dem Exponenten zu eliminieren.

$\log (10^{y}) = \log (\sqrt[3]{4})$

Schritt 10.3

Multipliziere die linke Seite aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.3.1

Zerlege $\log (10^{y})$ durch Herausziehen von $y$ aus dem Logarithmus.

$y \log (10) = \log (\sqrt[3]{4})$

Schritt 10.3.2

Die logarithmische Basis $10$ von $10$ ist $1$ .

$y \cdot 1 = \log (\sqrt[3]{4})$

Schritt 10.3.3

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y = \log (\sqrt[3]{4})$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$y = \log (\sqrt[3]{4})$

Dezimalform:

$y = 0.20068666 \dots$