Grundlegende Mathematik Beispiele

$2 y - \frac{716}{105} = \frac{19}{5 y} + \frac{19}{6}$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Addiere $\frac{716}{105}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 y = \frac{19}{5 y} + \frac{19}{6} + \frac{716}{105}$

Schritt 1.2

Um $\frac{19}{6}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{35}{35}$ .

$2 y = \frac{19}{5 y} + \frac{19}{6} \cdot \frac{35}{35} + \frac{716}{105}$

Schritt 1.3

Um $\frac{716}{105}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 y = \frac{19}{5 y} + \frac{19}{6} \cdot \frac{35}{35} + \frac{716}{105} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 1.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $210$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.4.1

Mutltipliziere $\frac{19}{6}$ mit $\frac{35}{35}$ .

$2 y = \frac{19}{5 y} + \frac{19 \cdot 35}{6 \cdot 35} + \frac{716}{105} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 1.4.2

Mutltipliziere $6$ mit $35$ .

$2 y = \frac{19}{5 y} + \frac{19 \cdot 35}{210} + \frac{716}{105} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 1.4.3

Mutltipliziere $\frac{716}{105}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$2 y = \frac{19}{5 y} + \frac{19 \cdot 35}{210} + \frac{716 \cdot 2}{105 \cdot 2}$

Schritt 1.4.4

Mutltipliziere $105$ mit $2$ .

$2 y = \frac{19}{5 y} + \frac{19 \cdot 35}{210} + \frac{716 \cdot 2}{210}$

Schritt 1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 y = \frac{19}{5 y} + \frac{19 \cdot 35 + 716 \cdot 2}{210}$

Schritt 1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.6.1

Mutltipliziere $19$ mit $35$ .

$2 y = \frac{19}{5 y} + \frac{665 + 716 \cdot 2}{210}$

Schritt 1.6.2

Mutltipliziere $716$ mit $2$ .

$2 y = \frac{19}{5 y} + \frac{665 + 1432}{210}$

Schritt 1.6.3

Addiere $665$ und $1432$ .

$2 y = \frac{19}{5 y} + \frac{2097}{210}$

Schritt 1.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2097$ und $210$ .

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Schritt 1.7.1

Faktorisiere $3$ aus $2097$ heraus.

$2 y = \frac{19}{5 y} + \frac{3 (699)}{210}$

Schritt 1.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.7.2.1

Faktorisiere $3$ aus $210$ heraus.

$2 y = \frac{19}{5 y} + \frac{3 \cdot 699}{3 \cdot 70}$

Schritt 1.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 y = \frac{19}{5 y} + \frac{3 \cdot 699}{3 \cdot 70}$

Schritt 1.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 y = \frac{19}{5 y} + \frac{699}{70}$

Schritt 2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, 5 y, 70$

Schritt 2.2

Since $1, 5 y, 70$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 5, 70$ then find LCM for the variable part $y^{1}$ .

Schritt 2.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 2.4

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 2.5

Da $5$ keine Teiler außer $1$ und $5$ hat.

$5$ ist eine Primzahl

Schritt 2.6

Die Primfaktoren von $70$ sind $2 \cdot 5 \cdot 7$ .

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Schritt 2.6.1

$70$ hat Faktoren von $2$ und $35$ .

$2 \cdot 35$

Schritt 2.6.2

$35$ hat Faktoren von $5$ und $7$ .

$2 \cdot 5 \cdot 7$

Schritt 2.7

Multipliziere $2 \cdot 5 \cdot 7$ .

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Schritt 2.7.1

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$10 \cdot 7$

Schritt 2.7.2

Mutltipliziere $10$ mit $7$ .

$70$

Schritt 2.8

Der Teiler von $y^{1}$ ist $y$ selbst.

$y^{1} = y$

$y$ occurs $1$ time.

Schritt 2.9

Das kgV von $y^{1}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$y$

Schritt 2.10

Das kgV von $1, 5 y, 70$ ist der numerische Teil $70$ multipliziert mit dem variablen Teil.

$70 y$

Schritt 3

Multipliziere jeden Term in $2 y = \frac{19}{5 y} + \frac{699}{70}$ mit $70 y$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Term in $2 y = \frac{19}{5 y} + \frac{699}{70}$ mit $70 y$ .

$2 y (70 y) = \frac{19}{5 y} (70 y) + \frac{699}{70} (70 y)$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \cdot 70 y \cdot y = \frac{19}{5 y} (70 y) + \frac{699}{70} (70 y)$

Schritt 3.2.2

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.2.1

Bewege $y$ .

$2 \cdot 70 (y \cdot y) = \frac{19}{5 y} (70 y) + \frac{699}{70} (70 y)$

Schritt 3.2.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$2 \cdot 70 y^{2} = \frac{19}{5 y} (70 y) + \frac{699}{70} (70 y)$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $70$ .

$140 y^{2} = \frac{19}{5 y} (70 y) + \frac{699}{70} (70 y)$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$140 y^{2} = 70 \frac{19}{5 y} y + \frac{699}{70} (70 y)$

Schritt 3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.3.1.2.1

Faktorisiere $5$ aus $70$ heraus.

$140 y^{2} = 5 (14) \frac{19}{5 y} y + \frac{699}{70} (70 y)$

Schritt 3.3.1.2.2

Faktorisiere $5$ aus $5 y$ heraus.

$140 y^{2} = 5 (14) \frac{19}{5 (y)} y + \frac{699}{70} (70 y)$

Schritt 3.3.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$140 y^{2} = 5 \cdot 14 \frac{19}{5 y} y + \frac{699}{70} (70 y)$

Schritt 3.3.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$140 y^{2} = 14 \frac{19}{y} y + \frac{699}{70} (70 y)$

Schritt 3.3.1.3

Kombiniere $14$ und $\frac{19}{y}$ .

$140 y^{2} = \frac{14 \cdot 19}{y} y + \frac{699}{70} (70 y)$

Schritt 3.3.1.4

Mutltipliziere $14$ mit $19$ .

$140 y^{2} = \frac{266}{y} y + \frac{699}{70} (70 y)$

Schritt 3.3.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.3.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$140 y^{2} = \frac{266}{y} y + \frac{699}{70} (70 y)$

Schritt 3.3.1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$140 y^{2} = 266 + \frac{699}{70} (70 y)$

Schritt 3.3.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $70$ .

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Schritt 3.3.1.6.1

Faktorisiere $70$ aus $70 y$ heraus.

$140 y^{2} = 266 + \frac{699}{70} (70 (y))$

Schritt 3.3.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$140 y^{2} = 266 + \frac{699}{70} (70 y)$

Schritt 3.3.1.6.3

Forme den Ausdruck um.

$140 y^{2} = 266 + 699 y$

Schritt 4

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $699 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$140 y^{2} - 699 y = 266$

Schritt 4.2

Subtrahiere $266$ von beiden Seiten der Gleichung.

$140 y^{2} - 699 y - 266 = 0$

Schritt 4.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.4

Setze die Werte $a = 140$ , $b = - 699$ und $c = - 266$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{699 \pm \sqrt{{(- 699)}^{2} - 4 \cdot (140 \cdot - 266)}}{2 \cdot 140}$

Schritt 4.5

Vereinfache.

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Schritt 4.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.1.1

Potenziere $- 699$ mit $2$ .

$y = \frac{699 \pm \sqrt{488601 - 4 \cdot 140 \cdot - 266}}{2 \cdot 140}$

Schritt 4.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 140 \cdot - 266$ .

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Schritt 4.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $140$ .

$y = \frac{699 \pm \sqrt{488601 - 560 \cdot - 266}}{2 \cdot 140}$

Schritt 4.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 560$ mit $- 266$ .

$y = \frac{699 \pm \sqrt{488601 + 148960}}{2 \cdot 140}$

Schritt 4.5.1.3

Addiere $488601$ und $148960$ .

$y = \frac{699 \pm \sqrt{637561}}{2 \cdot 140}$

Schritt 4.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $140$ .

$y = \frac{699 \pm \sqrt{637561}}{280}$

Schritt 4.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = \frac{699 + \sqrt{637561}}{280}, \frac{699 - \sqrt{637561}}{280}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$y = \frac{699 + \sqrt{637561}}{280}, \frac{699 - \sqrt{637561}}{280}$

Dezimalform:

$y = 5.34812203 \dots, - 0.35526489 \dots$