Grundlegende Mathematik Beispiele

$3 \cdot 12^{q} = 2^{q - 1}$

Schritt 1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (3 \cdot 12^{q}) = \ln (2^{q - 1})$

Schritt 2

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 2.1

Schreibe $\ln (3 \cdot 12^{q})$ als $\ln (3) + \ln (12^{q})$ um.

$\ln (3) + \ln (12^{q}) = \ln (2^{q - 1})$

Schritt 2.2

Zerlege $\ln (12^{q})$ durch Herausziehen von $q$ aus dem Logarithmus.

$\ln (3) + q \ln (12) = \ln (2^{q - 1})$

Schritt 3

Zerlege $\ln (2^{q - 1})$ durch Herausziehen von $q - 1$ aus dem Logarithmus.

$\ln (3) + q \ln (12) = (q - 1) \ln (2)$

Schritt 4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1

Vereinfache $(q - 1) \ln (2)$ .

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Schritt 4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (3) + q \ln (12) = q \ln (2) - 1 \ln (2)$

Schritt 4.1.2

Schreibe $- 1 \ln (2)$ als $- \ln (2)$ um.

$\ln (3) + q \ln (12) = q \ln (2) - \ln (2)$

Schritt 5

Stelle $\ln (3)$ und $q \ln (12)$ um.

$q \ln (12) + \ln (3) = q \ln (2) - \ln (2)$

Schritt 6

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$q \ln (12) + \ln (3) - q \ln (2) + \ln (2) = 0$

Schritt 7

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$q \ln (12) - q \ln (2) + \ln (3 \cdot 2) = 0$

Schritt 8

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$q \ln (12) - q \ln (2) + \ln (6) = 0$

Schritt 9

Subtrahiere $\ln (6)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$q \ln (12) - q \ln (2) = - \ln (6)$

Schritt 10

Faktorisiere $q$ aus $q \ln (12) - q \ln (2)$ heraus.

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Schritt 10.1

Faktorisiere $q$ aus $q \ln (12)$ heraus.

$q (\ln (12)) - q \ln (2) = - \ln (6)$

Schritt 10.2

Faktorisiere $q$ aus $- q \ln (2)$ heraus.

$q (\ln (12)) + q (- 1 \ln (2)) = - \ln (6)$

Schritt 10.3

Faktorisiere $q$ aus $q (\ln (12)) + q (- 1 \ln (2))$ heraus.

$q (\ln (12) - 1 \ln (2)) = - \ln (6)$

Schritt 11

Schreibe $- 1 \ln (2)$ als $- \ln (2)$ um.

$q (\ln (12) - \ln (2)) = - \ln (6)$

Schritt 12

Teile jeden Ausdruck in $q (\ln (12) - \ln (2)) = - \ln (6)$ durch $\ln (12) - \ln (2)$ und vereinfache.

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Schritt 12.1

Teile jeden Ausdruck in $q (\ln (12) - \ln (2)) = - \ln (6)$ durch $\ln (12) - \ln (2)$ .

$\frac{q (\ln (12) - \ln (2))}{\ln (12) - \ln (2)} = \frac{- \ln (6)}{\ln (12) - \ln (2)}$

Schritt 12.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 12.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (12) - \ln (2)$ .

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Schritt 12.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{q (\ln (12) - \ln (2))}{\ln (12) - \ln (2)} = \frac{- \ln (6)}{\ln (12) - \ln (2)}$

Schritt 12.2.1.2

Dividiere $q$ durch $1$ .

$q = \frac{- \ln (6)}{\ln (12) - \ln (2)}$

Schritt 12.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 12.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$q = - \frac{\ln (6)}{\ln (12) - \ln (2)}$

Schritt 13

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$q = - \frac{\ln (6)}{\ln (12) - \ln (2)}$

Dezimalform:

$q = - 1$