Grundlegende Mathematik Beispiele

$\frac{125 \cdot 25 \cdot {(5^{\frac{1}{4}})}^{3}}{\sqrt[3]{5}} = 5^{p}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $5^{p} = \frac{125 \cdot 25 \cdot {(5^{\frac{1}{4}})}^{3}}{\sqrt[3]{5}}$ um.

$5^{p} = \frac{125 \cdot 25 \cdot {(5^{\frac{1}{4}})}^{3}}{\sqrt[3]{5}}$

Schritt 2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{5}$ als $5^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$5^{p} = \frac{125 \cdot 25 \cdot {(5^{\frac{1}{4}})}^{3}}{5^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 3

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5^{p} = \frac{125 \cdot 25 \cdot 5^{\frac{1}{4} \cdot 3}}{5^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 4

Bringe $5^{\frac{1}{3}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$5^{p} = 125 \cdot 25 \cdot 5^{\frac{1}{4} \cdot 3} \cdot 5^{- \frac{1}{3}}$

Schritt 5

Mutltipliziere $125$ mit $25$ .

$5^{p} = 3125 \cdot 5^{\frac{1}{4} \cdot 3} \cdot 5^{- \frac{1}{3}}$

Schritt 6

Schreibe $3125$ als $5^{5}$ um.

$5^{p} = 5^{5} \cdot 5^{\frac{1}{4} \cdot 3} \cdot 5^{- \frac{1}{3}}$

Schritt 7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$5^{p} = 5^{5 + \frac{1}{4} \cdot 3} \cdot 5^{- \frac{1}{3}}$

Schritt 8

Multipliziere $5^{5 + \frac{1}{4} \cdot 3}$ mit $5^{- \frac{1}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$5^{p} = 5^{5 + \frac{1}{4} \cdot 3 - \frac{1}{3}}$

Schritt 8.2

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $3$ .

$5^{p} = 5^{5 + \frac{3}{4} - \frac{1}{3}}$

Schritt 8.3

Um $5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$5^{p} = 5^{5 \cdot \frac{4}{4} + \frac{3}{4} - \frac{1}{3}}$

Schritt 8.4

Kombiniere $5$ und $\frac{4}{4}$ .

$5^{p} = 5^{\frac{5 \cdot 4}{4} + \frac{3}{4} - \frac{1}{3}}$

Schritt 8.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$5^{p} = 5^{\frac{5 \cdot 4 + 3}{4} - \frac{1}{3}}$

Schritt 8.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.6.1

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$5^{p} = 5^{\frac{20 + 3}{4} - \frac{1}{3}}$

Schritt 8.6.2

Addiere $20$ und $3$ .

$5^{p} = 5^{\frac{23}{4} - \frac{1}{3}}$

Schritt 8.7

Um $\frac{23}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$5^{p} = 5^{\frac{23}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}}$

Schritt 8.8

Um $- \frac{1}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$5^{p} = 5^{\frac{23}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{4}}$

Schritt 8.9

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $12$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 8.9.1

Mutltipliziere $\frac{23}{4}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$5^{p} = 5^{\frac{23 \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{4}}$

Schritt 8.9.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$5^{p} = 5^{\frac{23 \cdot 3}{12} - \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{4}}$

Schritt 8.9.3

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$5^{p} = 5^{\frac{23 \cdot 3}{12} - \frac{4}{3 \cdot 4}}$

Schritt 8.9.4

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$5^{p} = 5^{\frac{23 \cdot 3}{12} - \frac{4}{12}}$

Schritt 8.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$5^{p} = 5^{\frac{23 \cdot 3 - 4}{12}}$

Schritt 8.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.11.1

Mutltipliziere $23$ mit $3$ .

$5^{p} = 5^{\frac{69 - 4}{12}}$

Schritt 8.11.2

Subtrahiere $4$ von $69$ .

$5^{p} = 5^{\frac{65}{12}}$

Schritt 9

Da die Basen gleich sind, sind zwei Ausdrücke nur dann gleich, wenn die Exponenten auch gleich sind.

$p = \frac{65}{12}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$p = \frac{65}{12}$

Dezimalform:

$p = 5.41\overline{6}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$p = 5 \frac{5}{12}$